Задача по механике

cool_cute


имеется трехзвенник, изображенный на рисунке. Точки О1 и О2 закреплены и находятся на оси Оу. Стержень О1А вращается вокруг т. О1 по часовой стрелке (угол его поворота относительно оси Ох= [math]$\varphi$[/math] приводя движение стержни АВ и ВО2 (все крепления шарнирные). Т.о. ВО2 вращается вокруг О2 в противоположную сторону, угол его поворота осносительно Оу= [math]$\psi$[/math], угол поворота АВ относиельно Ох= [math]$\alpha$[/math], O1A=l1, AB=L, O2B=l2, L>l2>l1.
то нужно:
1. Подобрать О1О2, так чтобы нижний стержень совершил полный поворот (у меня получилось О1О2=L+l2-l1). Я так понимаю, верхний стержень при этом полного поворота не совершит.
2. Выразить [math]$\psi$, $\alpha$[/math] через [math]$\varphi$[/math]. Можно взять векторную сумму О1А+АВ+ВО2=О1О2 и рассмотреть ее проекции на координатные оси. Получается [math]$$l1 cos(\varphi) + Lcos(\alpha) - l2sin (\psi) = L+l1-l2$$ $$l1 sin(\varphi) + Lsin(\alpha) + l2cos (\psi) =0$$[/math]
а вот как отсюда адекватно выразить альфу и пси?..
или как-то геометрически это можно сделать? вот если АО1=ВО2, тогда там просто все: получаются равные треугольники О1АВ и О1О2В, например... из них углы линейно выражаются. А так - не понятно
с меня за решение ништяки вроде пива/сока/шоколадки

Vlad128

1. Подобрать О1О2, так чтобы нижний стержень совершил полный поворот (у меня получилось О1О2=L+l2-l1). Я так понимаю, верхний стержень при этом полного поворота не совершит.
подобрать один или указать все возможные значения?

cool_cute

подобрать один или указать все возможные значения?
одного достаточно. Т.е. если мой годится, то все ок

Vlad128

По второму пункту все выкладки писать лень писать, но:
O1O2 считаем известным (пусть будет d)
Строим окружности радиусов l1 и l2 с центрами в O1 и O2 соответственно. Находим координаты точки A. Из нее строим окружность радиусом L. Ищем пересечение двух окружностей (квадратное уравнение). После нахождения координат B все остальное просто: это углы с осями координат, даже скалярное и косое произведение использовать не надо. Из корней квадратного уравнения надо только выбрать одно, которое подходит под изображенную конфигурацию.

Vlad128

Ну про пересечение окружностей я немного соврал. Но тут есть: http://algolist.manual.ru/maths/geom/intersect/circlecircle2...
Алголист все еще рулит!
Смотреть подход 2.

cool_cute

попробовала. Получается сложное выражение с приколами вроде необходимости выбирать ветку арккосинуса и деления на ноль, когда фи=пи/2. Хочется иметь гладкую связь, которую удобно дифференцировать.

Vlad128

Не, это оказалось проще, чем я думал.
В первой можно доказать, что подходят любые расстояния из отрезка [ L + l1 - l2; L + l2 - l1 ].
Для начала строим все те же окружности с центрами в O1 и O2. Дальше, стержень можно прокрутить тогда и только тогда, когда окружность с центром в любой точке окружности O1 и радиусом L пересекает окружность O2. Это следует из того, что точка пересечения непрерывно зависит от фи. Дальше, максимум и минимум расстояния от точки на окружности O1 до точки O2 достигаются в диаметрально противоположных точках на оси y, это следствие принципа касательной линии уровня (или метод Лагранжа). Отсюда следуют два неравенства, вместе дающие необходимое и достаточное условия.

Vlad128

Ну чтобы дифференцировать не обязательно находить явную зависимость.
А здесь дифференцирование неявной функции вообще на ура проходит. Можно даже подумать над решением дифура и таким образом получением ответа на 2 но это уже фантазии :)

cool_cute

какую неявную функцию ты имеешь ввиду?

Vlad128

Например, производные вот:
[math]  \[     \frac{\partial \alpha}{\partial \varphi} = -\frac{l_1}{L}\frac{\cos(\varphi - \psi)}{\cos(\alpha - \psi)}   \]  \[     \frac{\partial \psi}{\partial \varphi} = \frac{l_1}{l_2}\frac{\sin(\alpha - \varphi)}{\cos(\alpha - \psi)}   \]  [/math]
Если ничего не наврал.

Vlad128

Рассмотри оба своих уравнения (они у тебя, кстати, перепутаны(но это, кстати, не важно как функции [math]$F_j(\varphi, \psi(\varphi \alpha(\varphi = 0$[/math] и возьми полную производную по [math]$\varphi$[/math] (приравняй нулю). Получишь линейную системку относительно производных по фи. Дальше метод Крамера.

Vlad128

кстати вот, не зависит от d. Что бы это могло значить... :crazy:

Vlad128

А, нормально, от d начальные условия зависят.

cool_cute

Поясню, для чего это все нужно.
Нужно написать уравнение движения этой системы. Очевидно, у нее одна степень свободы, выберем [math]$\varphi$[/math]. Соответственно через нее и ее производные по времени нужно записать кин. энергию и все, что там еще полагается (обобщенные силы, например). Ради этого все и затевается. Поэтому я и хочу все угловые переменные выразить через фи. То есть по сути нужно знать угловые скорости АВ и ВО2 и скорость центра АВ.
Поэтому выражение производной [math]$\alpha$[/math] через [math]$\alpha$[/math] не годится

Vlad128

А, точно, как я про это забыл. Понаписал бесполезного бреда :) А нельзя может быть более удобную переменную выбрать?

cool_cute

к сожалению, фи задано как обобщенная координата системы. Да и в целом оно удобно, у нему присобачен двигатель с внешним моментом, коотрым можно управлять. Брать альфа или пси - то же самое, какую-нибудь из линейных координат - тоже вряд ли что хорошее получится

Vlad128

ну еще возникают грязные мысли подобрать-таки O1O2 из допустимого диапазона, то только пока не знаю как. Но это возможно путь.

cool_cute

я взяла верхнюю границу, чтобы верхний стержень симметрично колебался

Vlad128

это как так симметрично?

cool_cute

ой, нет, я ступила. в общем при таком выборе А и В находятся внижний точках окружностей одновременно
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: