Задача про матрицу и вектор

hatiz18

Натолкнулась на интересную задачу (выглядит не так сложно и даже симпатично):
дана ненулевая матрица
x(1,1) x(1,2) ... x(1,n)
x(2,1) x(2,2) ... x(2,n)
...
x(m,1) x(m,2) ... x(m,n)
Элементы матрицы, сумма элементов, суммы по строкам, по столбцам могут быть любого знака.
Дан ненулевой вектор, его элементы неотрицательны
y(1) y(2) ... y(n)
Требуется построить матрицу
y(1,1) y(1,2) ... y(1,n)
y(2,1) y(2,2) ... y(2,n)
...
y(m,1) y(m,2) ... y(m,n)
сохранив отношения между элементами максимально близкими к отношениям элементов исходной матрицы, сохранив знаки элементов исходной матрицы и суммы по столбцам равными компонентам y (или доказать, что в общем случае это невозможно и сохранить хотя бы сумму элементов вектора).
Понятно, что в случае всего положительного y(j) умножается на x(i,j) и делится на сумму по i x(i,j). Но как красиво решить её с условием сохранения знаков?

mtk79

напишите, что Вы считаете
максимально близкими отношением между элементами

например, для случая n=2. Матрица X задана

hatiz18

Я случайно генерировала x(i,j)
0 1978
-119 -3657
6222 5085
-4839 -5283
и y(j)

1106 3579
и ясно, что без сохранения знака можно просто получить
0 -3772
-104 6 973
5444 -9696
-4234 10073
А что-то красивое с сохранением знака не могу выдумать, в общем случае тоже не решается пока. :)

mtk79

о чем вообще идет речь? какая разница, какие числа и как генерируются! вопрос был про определение максимальной близости*
Например, исходная матрица
1 -2
2 4
Какая из двух матриц:
2 -3
5 8
или
2 -5
4 8
 ближе к исходной в плане попарных отношений — и почему?
* Уж полночь близится — а близости всё нет!

BSCurt

определение максимальной близости*
С Лососью?
Очередной пример, когда вопрос понятен максимум одному автору и то не факт.

Lene81

Mausoleum

0 -3772   
-104 6 973   
5444 -9696   
-4234 10073
Флося, блестящая вторая строка, отличная матрица 4 на 2.25! Дробная размерность матриц - как это модно и, не побоюсь этого слова, актуарно!

seregaohota

Однажды на компьютер Нео приходит странное сообщение: «Ты увяз в Матрице» («The Matrix has you…»)...
Тринити обещает раскрыть Нео тайну Матрицы...

stm7543347

Разводятся матрица и вектор. Судья спрашивает:
- Причина развода?
- Мы несовместные!

Sergey79

Какая из двух матриц: ближе к исходной в плане попарных отношений — и почему?
насколько близка матрица В к матрице А можно определить так: вычислить мат. ожидания a, b модулей элементов |a(i,j)|, |b(i,j)| каждой матрицы, затем нормировать B'=B*a/b. Затем вычислить ср.кв. отклонение d=|(a(i,j)-b'(i,j|^2. Чем d меньше, тем лучше.
В вашем примере вторая матрица отклоняется от первой на 0,5, а третья от первой - на 0,19. Таким образом, третья матрица ближе к первой, чем вторая.

hatiz18

Постараюсь описать получше.
Сумма y(i,j) по столбцам должна дать элементы вектора y. Знаки должны быть такими же, как в матрице x. y(i,j)/y(j) = x(i,j)/x(j где x(j) - также сумма по столбцам. В случае положительных чисел можно просто моделировать y(i,j) = x(i,j)/x(j иначе можно было бы положить y(i,j) = x(i,j)*(сумма элементов yсумма элементов x но в этом случае не всегда сохраняется условие равенства суммы элементов y по столбцам отдельной компоненте вектора y. Нужно показать, в каких случаях возможно изобрести разделение вектора (и какое конкретно выполняющее эти условия, а в каких невозможно, и предложить разделение, которое выполнит хотя бы условия сохранения знаков такими же, как в x, и целой суммы элементов y.

gr_nik

   Сумма y(i,j) по столбцам должна дать элементы вектора y. Знаки должны быть такими же, как в матрице x. y(i,j)/y(j) = x(i,j)/x(j где x(j) - также сумма по столбцам. В случае положительных чисел можно просто моделировать y(i,j) = x(i,j)/x(j иначе можно было бы положить y(i,j) = x(i,j)*(сумма элементов yсумма элементов x но в этом случае не всегда сохраняется условие равенства суммы элементов y по столбцам отдельной компоненте вектора y. Нужно показать, в каких случаях возможно изобрести разделение вектора (и какое конкретно выполняющее эти условия, а в каких невозможно, и предложить разделение, которое выполнит хотя бы условия сохранения знаков такими же, как в x, и целой суммы элементов y.
Как бы это и так понимал народ. Ты не отвечаешь на то, что тебя спрашивают, перечитай (или прочитай?) что тебе ответили.
Идея в том, что математически чёткая формулировка вопроса, возможно, позволит найти тебе ответ даже без посторонней помощи. Спроси себя: "Понимаю ли я на 100%, какие именно свойства мне нужны от x и y?" Затем запиши и подумай, строго ли (без неоднозначностей в трактовках) всё описано.
Здесь не могут ответить не потому, что задача нерешаемая или сложная, а потому что не понятно, что требуется. Конкретный вопрос, дать определение "близости" в математических терминах. Также не понятно, что такое "разделение" вектора.

mtk79

ну, во-первых, фразой вычислить ср.кв. отклонение d=|(a(i,j)-b'(i,j|^2 Вы ввели определенную метрику. что не совсем очевидно.
Во-вторых, предлагается дилатация второй матрицы (почему не первой ?). Может оказаться, что дилатациями вторых матриц и сравнениями d_(A,B')> d_(A,C' но d_(A',B)< d_(A',C)
Вычисление таких норм
>вычислить мат. ожидания a, b модулей элементов |a(i,j)|, |b(i,j)| каждой матрицы,
вообще может привести к нонсенсам, к тому же матрицы могут быть линейно преобразованы. А все эти процедуры очевидно неэластичны по отношению к лин.преобр.
так что я думаю, все отношения должны или в точности сохраняться (матрица умножается на скаляр) — или мы действительно имеем дело с сальмон-проблем

Sergey79

>>ну, во-первых, фразой вычислить ср.кв. отклонение d=|(a(i,j)-b'(i,j|^2 Вы ввели определенную метрику. что не совсем очевидно.
Само собой, что не очевидно. так и строится наука - если б все было очевидно, все давно б давно было открыто.
>>Во-вторых, предлагается дилатация второй матрицы (почему не первой ?). Может оказаться, что дилатациями вторых матриц и сравнениями d_(A,B')> d_(A,C' но d_(A',B)< d_(A',C)
потому что первая матрица - родитель. Никто же не спрашивает, похож ли отец на сына, а спрашивают, похож ли сын на отца. То есть глядя на сына примеряют его внешность к отцовской, а не наоборот.
>>Вычисление таких норм
>>>вычислить мат. ожидания a, b модулей элементов |a(i,j)|, |b(i,j)| каждой матрицы,
>>вообще может привести к нонсенсам, к тому же матрицы могут быть линейно преобразованы. А все эти >>процедуры очевидно неэластичны по отношению к лин.преобр.
эластичность к линейным преобразованиям была актуальной разве что во времена Галлилея, теперь же наука ушла далеко вперед.
 >>или мы действительно имеем дело с сальмон-проблем
как минимум

BSCurt

потому что первая матрица - родитель.
Вообще тогда уж надо начинать с того, что в уточненной формулировке слово матрица становится лишнее, так как все вычисления идут только по столбцу и соседние столбцы не вовлекают.
А во вторых — это тот ещё СЗМ когда такие корявые вопросы задаёт человек - мехмат финишд, но раз лосось так все сразу кинулись отвечать.

lenmas

А во вторых — это тот ещё СЗМ когда такие корявые вопросы задаёт человек - мехмат финишд, но раз лосось так все сразу кинулись отвечать.
Это почему еще если мех-мат финишт, то нельзя корявые (коварные) вопросы задавать? :grin:

hatiz18

Я придерживаюсь точки зрения, что если поставленная задача, открытая тема не нравятся, можно спокойно переключить своё внимание и силы на соседние и воздержаться от наставлений. Возможно, они имеют основания, но стоит задуматься, не будут ли бессмысленны. :) Те, кто желает помочь, кому интересно поучаствовать в решении и понять, о чём идёт разговор, может просто вежливо уточнить, что непонятно, и продолжить тему.
Хорошо, приведу теперь другие числа.
j-я компонента вектора y равна 20, соответствующий j-й столбец матрицы x таков:
1
6
3
Сумма равна, соответственно, 10. Соответствующий столбец матрицы y будет таким:
2
12
6
Сумма компонент сохранена. Сохранены знаки и отношения элементов столбца к их сумме.
Если в матрице x присутствуют отрицательные элементы, например, столбец имеет вид
1
6
-3
сумма элементов, соответственно, равна, 4, из компоненты вектора y, равной 20, получим соответствующий столбец
5
-30
-15
Сохранены те же необходимые параметры.
Если же столбец матрицы x даёт отрицательную сумму элементов, формула y(i,j) = y(j)*x(i,j)/(x(1,j)+...+x(m,j не работает.
Вопрос: какая формула бы выполнила необходимые условия? Если это невозможно, как "разнести" элементы вектора y по элементам матрицы x так, чтобы сохранить отношения y(i,j) к сумме y(i,j) по i такими же, как отношения x(i,j) к сумме x(i,j) по i, сохранив сумму элементов y в целом или как сохранить сумму y(i,j) по i равной y(j). При том необходимо, чтобы знаки элементов полученной матрицы были такими же, как та, по которой вектор раскладываем. Решение
1000
1030
-2010
сохраняет знаки и сумму, но совершенно не сохраняет отношения и даже по другим критериям не даёт "похожести" на матрицу, по которой раскладываем. Какие будут альтернативы?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: