Задача олимпиадная по математике

Tfrn

Дано:
1) a,b,c>0;
2) a+b+c=1;
3) S=ab+bc+ca.
Докажите неравенство:
1/(2a+S)+1/(2b+S)+1/(2c+S)>=1/S

griz_a

Тебе нужно ее решить или ты делишься с нами интересными задачами?

WYRASUK

по моему он готовится к олимпиаде

Tfrn

Ну вообще-то я и ту не до конца сам решил и полного решения не знал.
Эту тоже не решил пока.
Так что решение меня интересует.
Кроме того мне эти задачи нравятся по разным причинам, которые я не привожу раньше времени.
Я давно хотел задать в форуме эти задачи, но времени не было, а сейчас приболел, сижу дома и время сразу появилось.

Tfrn

Может с утра кто решит?

griz_a

Сводим к
1 >= 1/(3+S/a-1)+1/(3+S/b-1)+1/(3+S/c-1)
Замечаем, что
s/a+s/b+s/c-3=(bc-a^2)/a+(ac-b^2)/b+(ab-c^2)/c=(b^2(c-a)^2+a^2(b-c)^2+c^2(a-b)^2)/(2abc) >=0
Имеем
1/x+1/y+1/z<=3/(x+y+z)+3/(x+y+z)+3/(x+y+z)<=1
при x+y+z>=9
Что и т.д.

Tfrn


Имеем
1/x+1/y+1/z<=3/(x+y+z)+3/(x+y+z)+3/(x+y+z)<=1
при x+y+z>=9
Пока еще не все переварил, но это не верно как минимум при любых не совпадающих x,y,z>0. (ну например: x=4, y=5, z=5)

iri3955

1/x+1/y+1/z<=3/(x+y+z)+3/(x+y+z)+3/(x+y+z)
Это как?

iri3955

+1 - это нер-во м/у ср. арифметическим и ср. гармоническим - оно в др. сторону

griz_a

Да, не в ту сторону неравенство Иенсена написал %(

Tfrn

опечатался малость

griz_a

Имеется гипотеза, что если b и c заменить на одинаковые числа (sqrt(a+bc)-a то при этом сумма, про которую надо доказать, что она <=1 увеличится.

iri3955

но при этом a+b+c=1 перестанет иметь место

griz_a

Надо сохранить и S и a+b+c, при этом заменив b и с на одинаковые.
Тогда будет легче

ARTi

тупо раскрыл скобки, получилось вот что:
S^3 >= 2abc
как это доказать - хз

griz_a

Не, я по ходу неудачно предложил
Наверное, надо попробовать сохранить S и 1, сделав при этом два числа равными

Tfrn

Да, это ты переусердствовал похоже.
Там вроде должно получиться:
S^3 + S^2 >= 4abc

ARTi

да, ошибся

203377

Я доказала, но в ходе решения у меня получилось, что abc=0. В условии точно сказано, что они БОЛЬШЕ нуля? Или сказано, что они неотрицательные?

zuzaka

У тебя ошибка.
Вот я даю тебе три числа a,b,c. Такие, какие захочу. Например, 1/3, 1/3, 1/3.
Это все, что тебе дано. Никаких других условий нет, ты их сама должна вывести.
Как ты можешь получить abc=0, если я дал abc=1/27?

203377

У меня получилось так. Я сейчас спрашиваю про условие, как раз затем, чтобы понять, есть ли у меня ошибка. Часто в условии пишут неотрицательные, а студенты понимают это как положительные. Так вот, если они неотрицательные, то одно из них вполне может быть равно нулю.

zuzaka

Но a вовсе не меньше S.
Например, a=.99999999, b=c=0.000000005 => S = 0.00000001 (знаки не считал)

zuzaka

У тебя совершенно точно есть ошибка.
Потому что никакими выкрутасами ты не можешь для трех _мною_ заданных чисел получить их произведение, равное нулю. Потому что они сверху дадены. Даже если бы в задаче было позволено им быть нулевыми или отрицательными, какая разница? Заданы-то они все равно заранее, и не обязательно будут нулевыми.

203377

Я не делала никаких предположений при выводе. Использовала только те условия, что даны. У меня ВЫВЕЛОСЬ, что abc=0. Это не программирование, где любые конфигурации чисел возможны. Короче, я не говорю, что мое решение верно, потому что хочу точно знать условие. Но ошибки в нем я не вижу, поэтому заранее говорить, что оно неверно только потому, что ты задал какие-либо числа, не считаю правильным! Ты его даже не видел!

zuzaka

> Это не программирование, где любые конфигурации чисел возможны.
Да, это не программирование. Это гораздо проще.
Хорошо, пойду у тебя на поводу.
Представь себе, что условие a,b,c - любые, в т.ч. нулевые. Тебе надо доказать абсолютно любое неравенство, хоть 2>1.
Я задаю тебе a=b=c=1/3 (ведь ты должна что-то доказать для любых a,b,c). Придумай, какие ты можешь сделать выводы, чтобы abc=0.
> Но ошибки в нем я не вижу, поэтому заранее говорить, что оно неверно только потому, что ты задал какие-либо числа, не считаю правильным!
Твое решение должно работать с любыми числами. Иначе это не решение.
> Ты его даже не видел!
К счастью, это вовсе не обязательно для того, чтобы опровергнуть общее утверждение. Доказать - другое дело, тут придется попотеть.

203377

Не сказано, что a, b, c - любые!

MerKish

Сводим к S^3 + S^2 >= 4abc. <=> S^3 + S^2* (a+b+c)^2 >= 4abc(a+b+c)^3.
Заменяем S на ab + ac + bc, расскрываем скобки, сокращаем и получаем неравенство
{4,2,0} + 1.5{3,3,0} >= {4,1,1} + {3,2,1} + 0.5{2,2,2}, где запись {x,y,z} означает соответсвующую орбиту, т.е a^x*b^y*c^z + a^x*b^z*c^y + a^y*b^x*c^z + a^y*b^z*c^x + a^z*b^x*c^y + a^z*b^y*c^x.
Это неравенство очевидно, т.к. {4,2,0} >= {4,1,1}, {3,3,0} >= {3,2,1} и {3,3,0} >= {2,2,2}.
Это неравенство (между орбитами) даже кем-то на букву М называется, но я не помню.

iri3955

Мюрхеда

Katty-e

Прикольно читать обсуждение я, конечно, глюпый необразованный...но обсуждение читать прикольно

iri3955

А что, неправильно написал?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: