Самая красивая математическая теорема

stm7537641

Интересно узнать у участников форума (особенно тех, кто любит математику, но совсем не обязательно математиков) какой математический результат (конкретная теорема, доказательство или даже целая математическая теория) произвели на них наибольшее эстетическое впечатление (можно указать несколько таких результатов).

aibolit

Мне очень нравился матан, когда у нас был, особенно проникся тоеремой о равномерной непрерывности функции на отрезке, помоему ничего не напутал

Smintz

функан, как его рассказывает Куприков, прост нагляден и красив
но это не моё

elektronik

Мне вот нравится теорема о гомоморфизме (первая) своей пугающей формулировкой.
Больше мне нравится её формулировка у Кострикина, кажется:
Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру гомоморфизма!
Но этот результат не сильно сложен, на самом деле, просто вспомнилось пока что только эта теорема из-за соей формулировки.
Про поразивший меня результат я ещё пока подумаю!

a7137928

А я вот в книжке Пойа "Математика и правдоподобные рассуждения" прочитал офигенно красивое доказательство теоремы Пифагора.
Там вообще много красивого. Теорема о разложении синуса в бесконечное произведение тоже очень хорошо проиллюстрирована.

slsf

Для меня,как не математика...
Конечно же теория множеств (идеи Кантора и т.д.) , кривая Пеано - очень впечатлила в детстве, логика, теорема Гёделя, теория чисел, иррациональность чисел.
Список можно продолжить до бесконечности...но такому в университете не учат.
Полезно еще упомянуть книги, оставившие большое впечатление:
"Математические Ессе и развлечения"
Ф.Клейн "Школьная математика с точки зрения высшей" - кажется в этой книге очень впечатлил прибор для измерения площади... вот на что люди были способны в докомпьютерную эру сейчас такого ни за что бы не придумали.
"Числа и фигуры" - тоже немцев.
"Наглядная геометрия" - Д.Гильберт
"Исчисление бесконечно малых" - Величайшая опера от Эйлера ... читать надо, чтобы понять и восхититься. Полезно прочесть и остальные книги этой серии (дифференциальное и интегральное исчисление).
Задачники Шклярского - тоже оставили прекрасные воспоминания.
Конечно же стоит упомянуть прекраснейшую книгу Клейна "Лекции о развитии математики в 19м столетии".
Также очень заинтересовал задачник Полиа и Сёге.
Ps: и так далее, жаль что сейчас переиздаются в основном всякие Кудрявцевы и тому подобное... Какие-то убогие Демидовичи и Антидемидовичи ... ужас...

Nirritia

Меня удивил "Парадокс дня рождения":
Для того, чтобы вероятность совпадения дней рождений у двух человек была больше 0.5, в группе должно быть всего 23 человека.

plugotarenko

В 8 классе меня поразил факт, что натуральных чисел столько же, сколько и рациональных.
Потом меня сильно поразили фракталы, множества Мандльброта, кривая Пеано.
А еще тот факт, что канторовская лестница непрерывна.
Но, главное, Всякий неотрицательный супермартингал имеет предел. Кто знает, тот поймет.

alkozlov

Теорема Бойаи- Гервина рулит. Самое сильное впечатление в школьной математике.

zuzaka

Рекомендую ознакомиться с книжкой, если я не ошибаюсь, Хинчина "Три жемчужины теории чисел"

zuzaka

Теорема Мора-Маскерони - тоже из школьной. В универе меня, как-то, уже ничего не впечатляло.

Barmaglot

Теория Галуа. Теорема о соответствии структуры промежуточных полей алгебраически замкнутого расширения поля коэффициентов уравнения и структуры подгрупп группы Галуа уравнения. Но это было еше до универа
2. Спектральная теория неограниченных операторов.
Теоремы о самосопряженных расширениях симметричных операторов,
о спектральном представлении функции от неограниченного оператора –
чистая квантовая механика. Ее я считаю непревзойденной по красоте

NHGKU2

Может быть, это не столь пафосно и умно, как то, что здесь уже писали, но на меня из всего изученного больше всего произвела впечатление аналитическая геометрия, а именно - классификация кривых и поверхностей второго порядка и соответственно, теоремы о классификации, а также обобщения на проективную плоскость, инварианты и прочее. Все просто, ясно, прозрачно и красиво.
Я еще пытался знакомиться с теорией кривых третьего порядка на плоскости, но дойти до конца времени не хватило, хотя по всей видимости эта теория не уступает теории кривых и поверхностей второго порядка по красоте

vitamin8808

Теорема Гёделя о неполноте.
Теорема Арнольда-Колмогорова о представимости непрерывной функции многих переменных в виде суперпозиции конечного числа функций одного переменного и сложения.
Парадокс Банаха-Тарского о том, что можно шар в трёхмерном пространстве порезать на несколько
частей и из них сложить два шара без дырок с тем же радиусом, что и у первого шара.

vilikanov

Банально, но принцип Дирихле

fatality

впечатляют не только отдельные результаты, но прежде всего их глубокое внутреннее родство, ощущение того. что это все грани единого целого, рассматриваемые с разных сторон, разных точек зрения. поразило многое, очень трудно выделить что-то, но все же одно из самых ярких впечатлений в чистой математике - использование алгебры и анализа в топологии (абстрактные структуры, словно созданные специально для описания (топологических) свойств наглядных сущностей) - гомотопии и гомологии; в математической физике - геометризация гравитации в эйнштейновской ОТО , матанализ для описания движения в ньютоновской механике, список можно продолжать...

griz_a

Теорема Этемади. Я ее доказательство к экзамену пять дней запоминал .
Правда, до сих пор основные шаги помню примерно

avgustinka

геометризация гравитации в эйнштейновской ОТО
о да! меня это тоже пропёрло...
конкретно теоремы не помню... анмех помню очень порадовал. идея обобщённых координат и всё такое.
если чего ещё вспомню, напишу.

chowchow

Теорема Фейербаха о том, что у всякого треугольника окружность девяти точек (та самая, что проходит через середины всех его сторон) КАСАЕТСЯ его вписанной окружности и всех трех вневписанных. Один из самых замечательных фактов элементарной геометрии.

v1160908

Теорема о том, что любой вычислимый за экспоненциальное (ограниченное суперпозицией экспонент) время на машине Тьюринга предикат можно представить в виде суперпозиции функций x+1, x^y, [x/y], x-.y, где x-.y=max(x-y,0).

naami_moloko

Бесспорно самая красивая по сути (и по доказательству через 3 числа - 2, 3 и 5 ) является теорема Гёделя о неполноте. Фактически одним из её следствий является непротиворечивость всех математических утверждений - если только непротиворечива теория чисел (ну или скажем проще непротиворечивы арифметические операции на целых числах). Да и то, что при принятии любой системы аксиом будут существовать утверждения, которые ни истинны, ни ложны - тоже впечалтяющий факт
Как тополог не могу не восхищаться теориями гомологий и гомотопий (ещё один респект 'у - понимает что к чему но очень поразила в своё время обобщённая теорема Уитни (достаточно тривиальный факт) - любое паракомпактное хаусдорфово многообразие гомеоморфно замкнутому подмножеству банахова пространста.

Mary82

Их много. Безусловно поддерживаю про теорему Гёделя о неполноте. Так же соглашусь
со спектральной теорией. Следующие результаты, кажется, ещё не упоминались.
Например, теорема Фробениуса про конечномерные алгебры с делением над R,
а именно, их всего три: R, C и H.
Или классификация конечномерных полупростых ассоциативных над алгебраически
замкнутым полем (простые алгебры - это только алгебры всех линейных операторов
на конечномерном линейном пространстве, полупростые - только их прямые суммы)
и связаная с этим фактом теория представлений конечных групп (теорема Бернсайда,
теория характеров...)
Или же, наконец, классификация конечномерных полупростых комплексных алгебр Ли:
по сути кроме sl_n, so_n и sp_n для (почти) любых n есть всего 5 простых алгебр
(именно штук, а не семейств а полупростые опять суть прямые суммы простых (среди
которых не может быть тривиального одномерного случая). И, конечно, следующая
отсюда классификация полупростых групп Ли.
Просто, что первое в голову пришло...

vital_m

Гедель.
Теорем красивых много, сейчас меня занимает следующая :
Теорема (Ben Green, Terry Tao, 2004)
Существуют арифметические прогрессии любой длины, составленные из простых чисел.

Irina_Afanaseva

) Мне очень понравился такой факт:
Норма на (вещественной двумерной) плоскости имеет бесконечное число линейных изометрий тогда и только тогда, когда ее шары --- эллипсы (то есть, в подходящем базисе --- круги).
Кажется, эта единственность объясняет (макроскопическую) локальную евклидовость нашего мира.
Вообще конечно все (включая классификационные) теоремы геометрии достаточно красивы.
Как алгебраические (связь геометрии с основным полем) так и теормеханические
(об интегрируемых гамильтоновых системах; "КАМ"-теория, избретенная Колмогоровым).
Классификация элементарных частиц по неприводимым представлениям групп - это просто алмаз.
Геометричность струнных теорий восхищает,
несмотря на их незавершенность, не менее предыдущего результата.
Поразительна связь калибровочной теории с предъявлением континуума попарно недиффеоморфных (но гомеоморфных) дифференцируемых структур на четырехмерном вещественном векторном пространстве.
Теория вторичного квантования дала потрясающие изоморфизмы Фоковской тензорной (Супер)алгебры
на функциональные алгебры типа Винера--Сигала и Баргмана--Фока.
2) что касается внутриматематических идей об основаниях, то после Теоремы Геделя О Неполноте
и Теорем О Независимости Aксиомы Выбора и Гипотезы о Промежуточных Мощностях
от (остальных) аксиом теории множеств ("метод вынуждения" Коэна)
выделил бы идею использования нестандартных моделей теорий 1 порядка,
включающую идею бесконечно малых чисел (так называемый нестандартный анализ) Робинсона.
3) (тоже внутриматематические) алгебраические теории,
приведшие к теории Галуа и доказательству Великой теоремы Ферма -
надо считать блистающими не менее геометрических (да и само разделение на алгебраическую и геометрическую ветви, конечно, довольно условно)

Irina_Afanaseva

Идея Нобелевского лауреата Швингера об антикоммутирующих координатах привела к т.н. суперанализу (алгебраическому --- имени Швингера--Мартина--Березина, и
функциональному --- имени (Алисы)Роджерс--Владимирова--Воловича--Смолянова
в рамках которого изобретены "духи Фаддеева--Попова" физиком Поповым и алгебраистом Фаддеевым.
Интересно, что конечномерная версия доказательства "проявления духов" тривиальна (красива сама догадка о том, как можно преобразовать некий интеграл) --- тогда как бесконечномерная сформулирована _только_ на физическом уровне строгости, хотя ей уже порядка 30 лет и она проникла во все (!) современные пособия по квантовой теории поля.
Перечисленные мэтры функционального суперанализа, такие как академик Владимиров
(тот самый, который написал "Ур.мат.физ" и "Обобщенные функции") с его учеником Воловичем, профессора Смолянов, (и его ученики) Шавгулидзе и Хренников (недавно написавший книгу "Суперанализ") пока молчат.
Это несомненно стимулирующий (я бы сказал, просто наглый ) вызов математикам со стороны физики.
Кстати, "духи" являются бесплатным приложением к так называемому "трюку Фаддеева--Попова",
существенно бесконечномерному (причем без всяких антикоммутирующих заморочек) и связанному с преобразованием типа замены переменной в функциональном интеграле по траекториям.
Этот трюк за те же 30 лет так и не математизирован (хотя входит в те же пособия по КТП)

Xephon

Доказательство второй теоремы Колмогорова из теории вероятности.

Ater

Признак равенства треугольников по стороне и двум углам...

Mike3

Признак равенства треугольников по стороне и двум углам...
Это что-то из Шуфутинского?

NHGKU2

я думаю, это что-то из Погорелова...

Rumata

Школа: пифагоровы тройки, задача о брахистохроне, доказательство эквивалентности законов преломления света принципу наименьшего времени.
Университет: теорема Стокса (интеграл от дифференциальной формы по границе области равен интегралу от дифференциала формы по всей области) как обобщение серии теорем анализа начиная с ф-лы Ньютона-Лейбница; теория Галуа; классическая теория эллиптических кривых и их пространства модулей (считаю самой красивой из математических теорий); теорема Кронекера-Вебера о максимальном абелевом расширении поля Q (и ее обобщение на мнимые квадратичные поля -- теория комплексного умножения); вычисление кольца неориентированных кобордизмов (Рене Том); теорема Атьи-Зингера об индексе эллиптического оператора на компактном многообразии и ее следствия (как то ф-ла Ф. Хирцебруха для сигнатуры); теорема Ботта о периодичности (особенно оригинальное доказательство Р. Ботта с помощью теории Морса); Квилленовское определение высших К-групп (конкретно "+"-конструкция) и полное их вычисление для конечных полей; операда Сташефа, ...

avgustinka

имени (Алисы)Роджерс--Владимирова--Воловича--Смолянова
Опаньки! Мы знакомы?

Togar

Огромное удовольствие на 1 курсе получала, когда нам читали теоремы о свойствах непрерывных функций.
И вообще обожаю матан. Еще на 2 курсе впечатила теорема Римана об условно сходящихся рядах. Я никогда больше не учила ее доказательство, потому что прочувствовала и запомнила сразу. На 3 курсе по функану очень впечатлили свойства гильбертовых пространств своей схожестью со свойствами конечномерных.
Общая алгебра тоже красива, но мне ее досталось мало - не мехмат. Впрочем, и линейная неплоха.

Alexx13

Впечатлило,что событие нулевой вероятности может случиться,а событие вероятности 1 может не произойти.Бывают также неизмеримые множества,не имеющие,т.о.,вероятности.
Из анализа: в некотором метрическом пространстве шар меньшего радиуса содержит шар большего радиуса. Или,н-р,такая возможность корректно высказываться: очевидно,что данная чашка (обычная кухонная чашка,из которой чай пьют) - шар радиуса 1 километр.Очевидно ведь,правда?

Maxpol2

Из всех теорем меня больше всего порадовала Основная Теорема Алгебры в изложении Кадомцева...

kovaleg

Мне нравится теорема о существовании и единственности аттрактора (неподвижной точки) у сжимающих операторов.

IgorK

А мене нравится Великая теорема Ферма, а также намёки самого Ферма о "чудесном" доказательстве.
И я тоже в своё время пытался её доказать, ночами не спал, нифига только не получилось, даже для случая n=3.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: