Как определить аффинный ранг матрицы

snake-428

гугл и википедия молчат(. Может такого понятия вообще нет?

8888157

слово афинный ниасилил :confused:

NHGKU2

Может такого понятия вообще нет?
Я никогда о таком не слышал. А откуда ты это взял? Мб там и стоит поискать хотя бы определение?

svetik5623190

Я знаю для конечных матриц только строчный, столбцевой и минорный ранг, и теорему о том, что все эти три ранга совпадают (над одним и тем же полем).

toxin

Возможно, имеется в виду размерность афинного многообразия, порожденного векторами-строками или векторами-столбцами. В первом случае - добавляем столбец из единиц, во втором - строку из единиц. После чего считаем обычный ранг и вычитаем 1.

svetik5623190

В чём соль этого понятия? Зачем его ввели? В каких характерных ситуациях ранг получается другой?

stm7543347

Это еще один ранг, который равен трем предыдущим. :umnik:

svetik5623190

равен трем предыдущим.
Не факт. Рассмотрим пример:
1 1 1 1
1 1 1 1
Это матрица наша. Её (обычный) ранг равен 1.
Добавим к ней строку или столбец, состоящий из единиц. Будет
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
или
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
Обычный ранг получившихся матриц равен 1, значит новый ранг равен 1-1=0 нулю.
И ещё фишка: не факт, что от добавления строки или столбца из единиц обычный ранг будет меняться всегда одинаково, поэтому этот новый ранг похоже будет не такой триединый как старый - строчный, минорный и столбцевой новые ранги могут быть разными.
Только непонятно зачем он нужен.
Поэтому новый ранг не всегда совпадает с обычным. Именно поэтому я и спросил, джля чего он нужен.

toxin

Я же написал - чтобы знать размерность афинного пространства натянутого на данные векторы.

svetik5623190

дык если добавлять строку или столбец из 1 разное же получится!
И вообще, вот в моём примере что, и правда должна размерность нулевая получиться?

griz_a

Так и вектора получатся разные %)

svetik5623190

и что?
я так и не понял зачем такой ранг нужен.

stm7543347

ранг равен 1-1=0 нулю.
Это как? :spy:

svetik5623190

Это как?
Ну как-как.
Если взять матрицу
1 1 1 1
1 1 1 1
а потом проделать то что халявин предложил:
добавляем столбец (строку) из единиц. После чего считаем обычный ранг и вычитаем 1.
то получится 0.

toxin

дык если добавлять строку или столбец из 1 разное же получится!
Ага, поэтому определить по строкам векторы записаны или по столбцам - задача автора это треда.
И вообще, вот в моём примере что, и правда должна размерность нулевая получиться?
Да, соотвествующее аффинное пространство - точка.

svetik5623190

Да, соотвествующее аффинное пространство - точка.
Ага, пришли к тому, что я не понимаю, что такое "аффинное пространство, натянутое на систему векторов". Похоже я понимал под этим нечто другое.
Можно попросить кого-нибудь сказать определение?

toxin

Точнее я бы сказал аффинное пространство натянутое на точки концов векторов. Т.е. для векторов [math]$v_1,\dots,v_n$[/math] это множество точек [math]$c_1v_1+\dots+c_nv_n$[/math] при [math]$c_1+\dots+c_n=1$[/math].

griz_a

А разве по-твоему определению у вектора 1,2,2 афинный ранг будет не 1? :confused: строчный, скажем

svetik5623190

Точнее я бы сказал аффинное пространство натянутое на точки концов векторов.
Спасибо, определение понял.
А разве по-твоему определению у вектора 1,2,2 афинный ранг будет не 1?
Мне вот вообще не нравится привязка к конкретному вектору - а именно вектору из единиц. Не понимаю зачем он нужен, а если нужен, то почему именно из единиц.

toxin

А разве по-твоему определению у вектора 1,2,2 афинный ранг будет не 1?

Если это вектор-строка, то rk(1,1,2,2)=1, получаем ранг 1-1=0. А если это 3 вектора-столбца, то тогда будет 1.
Не понимаю зачем он нужен, а если нужен, то почему именно из единиц.

Единицы - это коэффициенты условия [math]$c_1+c_2+\dots+c_n=\mbox{const}$[/math]. Которое и отличает аффинное пространство от векторного пространства натянутого на векторы.

svetik5623190

Спасибо, халявин. Кажется я разобрался в терминологии. Прошу проверить меня, а то госэкзамены ж скоро и вступительные в аспирантуру:
Будем обозначать большими буквами векторы, а маленькими - числа.
Векторное пространство , натянутое на векторы А1, ..., Аn это все такие векторы Н, для которых найдутся числа a1, .., an, которые вместе с А1, ..., Аn удовлетворяют уравнению a1А1 + a2A2+ ... + anAn - H =0, т.е. представимые в виде линейных комбинаций векторов A1,..,An.
Фактически это система уравнений на коэффициенты ak и компоненты вектора Н, её матрица М имеет размер p на р+1, где p - размерность объемлющего векторного пространства, а её (обычный) ранг - размерность этого самого векторного пространства, натянутого на векторы А1, ..., Аn.
Аффинное пространство , натянутое на векторы А1, ..., Аn это все такие векторы Н, для которых найдутся числа a2, .., an, которые вместе с А1, ..., Аn удовлетворяют уравнению
H= A1 + a2(A2-A1)+ ... + an(An-A1 т.е.
(1 - a2 -.. - an)A1 + a2A2+ ... + anAn - H=0,
т.е. представимые в виде суммы А1 и линейных комбинаций векторов (A2-А1..An-А1).

Фактически это система уравнений на коэффициенты ak и компоненты вектора Н, её матрица М1 имеет размер p на р, где p - размерность объемлющего векторного пространства, а её (обычный) ранг - размерность этого самого аффинного пространства, натянутого на векторы А1, ..., Аn.
Это я правильно всё сказал?
И ещё вопросы появились. Обозначим обычный ранг матрицы rk, а аффинный rkA.
1. Как всязаны между собой числа rk(M rk(M1 rkA(M rkA(M1)?
2. Откуда берётся вектор из единиц - я так и не понял.
Понимаю, что вопросы оч. простые, но что-то голова отвыкла работать над задачами такого рода. Если кому легко ответить на мои вопросы - ответьте пожалуйста.
Спасибо! :)

stm7543347

Да, соотвествующее аффинное пространство - точка.
Вот как увидел эту фразу, дошло. Геометрическая интуиция, если ею неправильно пользоваться, заводит в тупик. :crazy:

z-helenium

[math][res=120]Пусть $\{A_k\}_{k=1}^{s} \subset \mathbb{R}^n$. Афинным пространством, натянутым на эту совокупность векторов, назовём множество $$ \EuScript{A} := \left\{\sum_{k=1}^{s}c_k\cdot A_k \mid \sum_{k=1}^{s}c_k = 1 \right\}\supset \{A_k\}_{k=1}^{s}$$  При этом $\sum_{k=1}^{s}c_k\cdot A_k = \biglc_1 - 1 + d)\cdot A_1+\sum_{k=2}^{s}c_k\cdot A_k \bigr) + (1 - d)\cdot A_1$, то есть замена в приведённом определении единицы на другую константу $d$ приводит лишь к сдвигу $\EuScript{A}$ на фиксированный вектор (например, $(1-d) \cdot A_1$). В частности $$ \EuScript{A}_0 := \left\{\sum_{k=1}^{s}c_k\cdot A_k \mid \sum_{k=1}^{s} c_k = 0 \right\}$$ является линейным подпространством $\mathbb{R}^n$ (проверяется непосредственно линейную размерность которого будем называть размерностью $\dim\EuScript{A}$ афинного пространства $\EuScript{A}$.[/math]
[math][res=120]Далее, для векторов из $\EuScript{A}_0$ верно: $$\sum_{k=1}^{s}c_k\cdot A_k = \left ( \sum_{k=1}^{s}c_k \right ) \cdot A_1 + \sum_{k=2}^{s}c_k\cdot (A_k - A_1) = \sum_{k=2}^{s}c_k\cdot (A_k - A_1) $$ поэтому $$\EuScript{A}_0 = \; <A_2 - A_1, \, A_3 - A_1, \ldots, \, A_s - A_1>$$[/math]
[math][res=120]\newcommand{\rank}{\mathop{\mathrm{rank}}\nolimits}Следовательно, афинную размерность можно вычислять так:$$\dim\EuScript{A} = \rank\begin{pmatrix}A_2 - A_1 \\ A_3 - A_1 \\ \vdots \\ A_s - A_1\end{pmatrix} \stackrel{(1)}{=} \rank\begin{pmatrix}A_1 & 1 \\ A_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ A_s & 1\end{pmatrix}$$ Равенство $(1)$ следует из равносильности $$\left (\sum_{k=2}^{s}c_k \cdot (A_k - A_1) = 0, \; \sum_{k=2}^{s} c_k^{2} \ne 0 \right ) \Leftrightarrow \left ( \sum_{k=1}^{s}c_k \cdot A_k = 0, \; \sum_{k=1}^{s} c_k = 0, \; \sum_{k=1}^{s} c_k^{2} \ne 0 \right ) $$[/math]

svetik5623190

Спасибо!
Значит я всё правильно понимал + спасибо за новые знания.
В очередной раз мегаресектище тебе!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: