Асимптотика интеграла (нужна помощь)

djoffrei

Задача из письменного экзамена по курсу "Ассимптотические методы".
Найти первые два члена ассимптотического разложения интеграла.
Интеграл от 0 до 1 от выражения: ln(t)*e^(i*alfa*t) по dt, при alfa->бесконечности.
По-идее, задача на обычное интегрирование по частям, но как я не пытался хитрить, всегда вылазит слагаемое ln(t)/(i*alfa не могу от него избавиться и все. Собственно, в нуле оно не имеет предела.
Получается, либо в задаче опечатка (что маловероятно либо я не знаю какого-то способа разложения таких интегралов.
В принципе, интеграл довольно простой, кажется, что классический даже, но в книжке Федорюка, в википедии и вообще в интернете я, к сожалению, ничего похожего не нашел...
Надеюсь, коллективный разум форума МГУ мне поможет! :)

assasin

После интегрирования по частям и линейной замены получаем, что интеграл равен
[math]$$-\frac1{i\alpha}\int_0^\alpha\frac{e^{it}-1}t\,dt=-\frac1{i\alpha}\left(\int_0^1\frac{e^{it}-1}t\,dt-\log\alpha+\int_1^\infty\frac{e^{it}}t\,dt+O(\alpha^{-1})\right)=$$  $$=-\frac{i\log\alpha}\alpha-\frac{c_0}\alpha+O(\alpha^{-2}$$[/math]
где
[math]$c_0=-i\left(\int_0^1\frac{e^{it}-1}t\,dt+\int_1^\infty\frac{e^{it}}t\,dt\right)=\pi/2+i\gamma$[/math]
([math]$\gamma$[/math] --- постоянная Эйлера—Маскерони).

griz_a

Если я правильно понял проблему:
[math]$\int\limits_{[0,1]} ln t*e^{i\alpha t}dt = \frac{1}{i\alpha}\int\limits_{[0,1]} lnt*de^{i\alpha t}=\frac{1}{i\alpha}\int\limits_{[0,1]} lnt* d(e^{i\alpha t}-1)=\\  =\frac{1}{i\alpha}(ln t*(e^{i\alpha t}-1)|_{0}^{1} + \int\limits_{[0,1]} \frac{1-e^{i\alpha t}}{t} dt) $[/math]
Первое слагаемое в единице 0 из-за логарифма, а в нуле 0, потому что t*lnt стремится к 0 при t стремящемся к 0.

mtk79

ну да. товарищ не смог придумать первообразную от эксп., дающую ноль в t=0

lenmas

Круто. А можно поподробней с последними интегралами, откуда там постоянная Эйлера выскакивает? :)

assasin

Если честно, то я открыл Градштейна—Рыжика и нашёл интеграл там, однако для очистки совести (не люблю пользоваться фактами, доказательства которых я не знаю) я потом придумал доказательство (ну, "придумал" --- это слишком громко сказано: я просто повторил вычисление интеграла Дирихле). Сначала с помощью дифференцирования по параметру доказывается формула
[math]$$\int_0^\infty\frac{e^{it}-1}te^{-at}dt=\log\frac a{a-i}\qquad(a>0)$$[/math]
(главная ветвь логарифма). При [math]$a\to+0$[/math] левая часть ведёт себя, как
[math]$$\int_0^1\frac{e^{it}-1}t\,dt+\int_1^\infty\frac{e^{it}}t\,dt-\int_1^\infty\frac{e^{-at}}t\,dt+o(1$$[/math]
а последний интеграл оцениваем линейной заменой и по частям (:-:
[math]$$\int_a^\infty\frac{e^{-t}}t\,dt=-e^{-a}\log a+\int_a^\infty e^{-t}\log t\,dt=-\log a+\int_0^\infty e^{-t}\log t\,dt+o(1).$$[/math]
Осталось заметить, что последний интеграл равен
[math]$$\Gamma'(1)=-\gamma.$$[/math]

griz_a

? По-моему, он все правильно рассмотрел :confused:

djoffrei

У все правильно написано, правый предел интегрирования - единица, а у правый предел интегрирования - альфа, это не правильно.
Мне теперь непонятно, как продолжить решение в правильной постановке, начатое . После разложения по частям, там получился интеграл от (1-e^(i*alfa*t / t. Пределами интегрирования от нуля до единицы.
По-моему, разложить его не проще, чем изначальный интеграл. Снова появляется логирифм, но уже без нулевого сомножителя...

mtk79

у правый предел интегрирования - альфа, это не правильно.

интересно, а фразу
после... линейной замены
он кому писал?
Собственно, понятно, что Вам непонятно то, что предложил (Frau Soboleva лишь прокомментировал, как это получается 1 шаг явном виде). Вы уже во второй раз предлагаете что-то далее разлагать (я, например, не понимаю, какое разложение Вы хотите применить для 1-\exp(i *a*t) при a >> 1)

griz_a

Ну если банально лень прочитать, что человек подробно для вас написал, то тут мало кто может помочь :confused:

djoffrei

Не совсем так. Я увидел в правом пределе интегрирования alfa - и сразу подумал, что условие задачи понято неверно. Поэтому и не пытался дальше понять это решение.
Признаю, что был не прав. Всем спасибо за помощь.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: