Проекция на n-мерн парралелепипед и эллипс

Eleno4ka

че-то не могу понять, как она находится, видимо, потому, что представить такое и расчертить чертеж не получается
помогите, плиз, кто знает
эллипс: x1^2/a1^2+...+xn^2/an^2<=1, ai>0
парралелипипед: -ai<xi<ai

Eleno4ka

реально не могу додуматься (4я логика )

Eleno4ka

^

hakimus

можешь толком сказать, проекция чего и куда тебе нужна? и в каком направлении?

Eleno4ka

есть множество U, например, эллипс
вообще n-мерный
решаю задачу J(u)-> inf
там в процессе берутся выражения типа (u_k-a_k*J_k) и проектируются на эллипс. Это метод проекции градиента. Если вид множества у нас вполне ясен, мы ведь можем выписать явные формулы. Я вот и пытаюсь это сделать. Т.е. спроектировать на эллипс точку n-мерного пространства

sanosik

пытка партизана...
а кто такой J?

Eleno4ka

почему пытка партизана?
просто это не имеет отношения к поставленной задаче
задача чисто геометрическая: дана точка с заданными координатами, уравнение эллипса, спроектировать
но, чтобы удовлетворить зрительское любопытство, это - функционал, который надо минимизировать. Это просто задача минимизации. Могу еще рассказать, откуда она возникла, но это уже совсем будет не в тему

Zoltan

>задача чисто геометрическая: дана точка с заданными координатами, уравнение эллипса, спроектировать
чего-то в ней не хватает как ты это себе в двумерном случае, например, представляешь?

natunchik

Да да да! Например как ты собираешься проектировать?
Можно построить луч от центра эллипсоида через данную точку и назвать точку пересечения этого луча и эллипса проекцией. Это вообще просто.
Еще можно попытаться найти ту точку на эллипсе, нормаль из которой проходит через данную точку. Это гораздо забавнее, хотя бы потому, что если интересующая нас точка внутри эллипса, то мне кажется, что решение неоднозначно.

naami_moloko

Cкажи толком задачку, я с кафедры ВГТ, а своими Symmetric Powers заниматься настроения нет

sanosik

короче надо записать расстояние от точки вне эллипсоида до ближайшей к ней точки этого эллипсоида. это автоматически нормаль к эллипсоиду.

naami_moloko

Линейной заменой координат А(и возможно сдвигом) приводим эллипсоид E к единичному шару, назовём его A(E там смотрим проекцию y=pr(A(x , y из A(E и обратно, применяем 1/A. Искомое расстояние есть р(x, 1/A(y. Аналогично для параллелограма.

naami_moloko

Не, прогнал я...
Завтра с утра подумаю, интересная задачка.

sanosik

точнее нужна точка на эллипсоиде реализующая мимимум расстояния до данной точки вне его,
в виде зависимости ее координат от координат данной точки и от полуосей эллипсоида.

natunchik

Рассказываю КАК это делать: переходишь в сферическую систему координат (интересно, в многомерном случае как оно выглядит? записываешь выражение для координаты точки на эллипсоиде, записываешь выражение для направления нормали из этой точки (через частные производные, пользуясь тем что нормаль перпендикулярна всем производным (то есть касательным) по всем переменным в этой точке) - то есть тут уже надо будет типа системку уравнений решить. Скорее всего, ее можно будет решить просто, причем заранее. Ну то есть подобные матрицы обычно клево обращаюццо.
Ну вот, собственно. Потом пишешь x(phi1, ..., phiN) + t*n(phi1, ..., phiN) = X0, t>0 и решаешь. Жопой чую, что общего красивого решения не существует - потому что если точка внутри, то решением является выхухоль на поверхности эллипсоида. Поэтому решать придется приближенно и итерационно. В качестве начального приближения маза брать точку про которую я в предыдущем посте говорил.

naami_moloko

Пусть искомая точка на эллипсоиде будет Х, заданная точка вне его - Y
Понимаешь, я _УВЕРЕН_, что XY _не перпендикулярно_ касательной плоскости к эллипсоиду в точке X. Почему это очевидно, я думаю очевидно.
На самом деле задача сводится к такой - найти такое r, что |rAX|=|X-Y| имеет одно решение(A - диагонаниьная матрица с a1,.., an, r - положительное число(расстояние XY |*| - норма в Rn). При маленьких r имеем 0 решений для Х, с ростом его 1 решение, потом много, потом опять одно, потом опять ноль.
Нужно найти r, когда одно решение и для всех r0<r решений нет...

vital_m

Я не пойму, тебе надо, грубо-говоря выразить одну координату из ур.
эллипса через другие и поставить в J ?

Irina_Afanaseva

> Пусть искомая точка на эллипсоиде будет Х, заданная точка вне его - Y
> Понимаешь, я _УВЕРЕН_, что XY _не перпендикулярно_ касательной плоскости к эллипсоиду в точке X.
Нет, смотри: раз Х строго ближайшая к У среди точек эллипсоида, то шар с центром в У и радиусом |XY| пересекается с эллипсоидом в ОДНОЙ точке. Проводим к этой точке касательную к эллипсоиду гиперплоскость. Как она пересекается с этим шаром? По ОДНОЙ точке. Иначе и по кругу, и в центре, что быть не может.
Значит касается шара. Значит отрезок ХУ в точности перпендикулярен "касательной плоскости к эллипсоиду в точке X".
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: