задача на матрицы

bars70

помогите решить задачу.
нужно описать все классы сопряженности матриц Gl2(Z3)
У матриц, которые можно привести к жордановому виду, понятно, какие классы. А вот какие классы сопряженности, когда матрицы не приводятся к жордановому виду?

Lene81

У матриц, которые можно привести к жордановому виду, понятно, какие классы.
Ты, мне кажется, внеправильном направлении мыслишь. Жордановы формы тут могут быть вообще ни при чем, хотя бы потому, что матрица из GL2(Z3) может вообще не иметь жордановой формы в этой группе. Мне кажется, что тут проще всего поступить так:
классы сопряженности матриц в этой группе это множество элементов K(a) = g-1 a g, где a — фиксированно, а g пробегает все элементы группы. Подное решение задачи, на самом деле, имеется в таблице неприводимых представлений группы GL2(Z3 которая наверняка табулирована. Это следует из того, что характеры неприводимых представлений инвариантны на классе сопряженных элементов и ортогональны, а значит — линейно независимы.

Steen

а без представлений как-то можно описать?
там не так-то много матриц получается без жордановой формы. и их можно делить на группы по следу и определителю. вопрос в том, можно ли это сделать как-то оптимально?

Lene81

Погуглил немного и нашел полное решение задачи. Каюсь, был неправ: жнф тут по делу.

bars70

спасибо.
я правда уже руками все классы перебрал. тоже получилось 8 штук (как при q=3)
только мой вопрос пролетарский: как объяснить упражнение 2.3?
почему с неприводимым многочленом матрица сводится к матрице со столбцом (0,1) ?

Lene81

почему с неприводимым многочленом матрица сводится к матрице со столбцом (0,1) ?
Это просто: все характеристические многочлены либо имеют корни в Z3 (а все случаи одинаковых/разных корней уже рассмотрены ранее либо неприводимы и параметризованы двумя параметрами (второго порядка со старшим членом 1). В последнем случае, приведенный специальный случай матрицы и имеет характеристический многочлен заданного вида (в самом деле, характеристический многочлен инвариантен относительно сопряжения, а его неприводимость гарантирует, что матрица 2x2 не может быть ни диагонализована, ни приведена к жордановой клетке).
Грубо говоря, из 4 матричных элементов в последнем случае можно "свободно" задавать два, которые и становятся параметрами неприводимого многочлена.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: