Задача про множество на вещественной прямой

alex17171717

M - множество на вещественной прямой, граница которого пустая.
Какие из следующийх утверждений справедливы?:
1) М - открытое множество
2) М - замкнутое множество
3) М имеет мощность континуума
и почему?

resident

3

alex17171717

неправильно 1,2
а почему, я сам в ах.е
может кто объяснит?

vitamin8808

мдаа...
А чего тут решать ? очевидная же задачка.
Вы что, много множеств знаете без границ ?

slsf

Пустое множество ?

vitamin8808

мало, ещё одно.

slsf

Множество из одного элемента

alex17171717

множество из одного эл-та замкнуто

alex17171717

что это за множ-во, которое одновременно и замкнуто и открыто?
это вся вещ-я прямая?

slsf

А оно не открыто, простите за неграмотность ?

sermix

оно замкнуто поскольку включает все свои граничные точки, а именно одну

alex17171717

это я)

slsf

Все же вопрос остается открытым , оно не открыто ?

goga7152

В T_1 - пространстве (в частности, в хаусдорфовом) все точки замкнуты. Точка в R не является открытым множеством (т.к. дополнение очевидно не является замкнутым, но это также противоречило бы связности прямой в стандартной топологии). В связном топологическом пространстве одновременно открыты и замкнуты только два подмножества -- пустое и все пространство.

Alexx13

Пусть M=|R. Тогда M 1) открыто, 2) замкнуто, 3) имеет мощность континуума, 4) граница M пуста.
Если же M={}, то M 1) открыто, 2) замкнуто, 3) имеет нулевую мощность (она не равна континууму 4) граница M пуста

alex17171717

я понимаю открытость вещ-ой прямой как то что у любой точки в окрестности есть точки из пустого множества, но как понять замкнутость?

alex17171717

то есть если учитывать что правильный ответ это 1 и 2, то есть искомое множество не имеет мощность континуума, то это пустое множество. Но в условии задачи сказано, что искомое множество на вещ-й прямой и его границы пусты.

Alexx13

Совпадает со своим замыканием, например так.

alex17171717

если оно совпадает со своим замыканием, тогда почему его граница пуста?

goga7152

То, что подмножество, граница (=множество точек прикосновения) которого пуста, одновременно замкнуто и открыто, вроде бы очевидно. Действительно, с одной стороны, оно совпадает со своим замыканием, с другой -- с множеством своих внутренних точек

Alexx13

Пустое множество есть множество на вещественной прямой и его граница есть пустое множество.

Alexx13

Дело в том, что числовая прямая совпадает и со своей внутренностью.
А граница есть замыкание за вычетом внутренности. Для числовой прямой получается пустое множество.

alex17171717

пустое множество находится в другом измерении
если мы будем рассматривать подмножества из непутого множества на вещ-ой прямой и будем говорить, что оно закрыто, то мы имеем ввиду, что оно закрыто только если не учитывать точки из пустого множества, находящегося в параллельном измерении

alex17171717

кроме того как из условия задачи следует, что у этого множества нулевая мощность континуума, если и пустое множество и не пустое нах-ся на вещ-й прямой и их границы пустые?

bhyt000042

Интересно, а граница интервала тогда какое множество?

griz_a

- неверно, для пустого можества.
2 - верно, т.к. замыкание совпадает с самим множеством,
1 - верно, т.к. у внешности множества граница та же, т.е. оно замкнуто, а дополнение до замкнутого - открыто.

slsf

Вопрос открытости и замкнутости, как я понял, может относиться ТОЛЬКО к ПОДМНОЖЕСТВАМ, в данном случае подмножествам прямой. В ином случае вопросы открытости и замкнутости теряют смысл, разве не так ? Вообще вопрос с одноэлементным множеством все интереснее
Вопрос в тему, можно ли рассматривать бесконечные множества без их вложений куда-либо ?
То есть, как в данном примере, мы вложили наши множества в прямую и поняли, что они либо замкнуты либо открыты и так далее, а можно ли это понять без вложения ?

Mary82

То есть, как в данном примере, мы вложили наши множества в прямую и поняли, что они либо замкнуты либо открыты и так далее, а можно ли это понять без вложения ?
Конечно нет. По определинию топологии (если она вообще задана на данном множестве)
любое топологическое пространство открыто и замкнуто в себе.
А
Вопрос в тему, можно ли рассматривать бесконечные множества без их вложений куда-либо ?
вообще непонятен. А то множество, куда ты вкладываешь своё бесконечное множество (которое,
очевидно, тоже бесконечно) опять же следует куда-то вложить? И, вообще, зачем всё это?

no-norder

Определения ботай, а не флуди, ато точно не успеешь к 14 математику повторить

goga7152

Попробую пояснить на примере одноэлементных подмножеств в множестве X, состоящем не менее чем из 2-х элементов. На Х можно рассмотреть, например, такие топологии: 1) дискретную (все подмножества открыты) и 2) антидискретную (открыты только пустое и все Х). В 1-м случае точки и открыты и замкнуты одновременно, во 2-м -- не открыты и не замкнуты (притом что на одноэлементном подмножестве индуцируется конечно одна и та же -- единственная -- топология). Выражаясь неформально, наверное, можно сказать, что свойство "открытости" (или "замкнутости") не является "внутренним" свойством подпространства (в отличие например от "компактности").

slsf

Угу, теперь картина проясняется.

slsf

А
Вопрос в тему, можно ли рассматривать бесконечные множества без их вложений куда-либо ?
вообще непонятен. А то множество, куда ты вкладываешь своё бесконечное множество (которое,
очевидно, тоже бесконечно) опять же следует куда-то вложить? И, вообще, зачем всё это?
Попытаюсь выразиться яснее. К примеру берем множество [0,1] . Как понять что 1 это граница ?
Мы говорим - так как любая окрестность точки 1 полностью не принадлежит нашему множеству то блаблабла (или что-то в этом духе следовательно оно замкнуто
А теперь забудем о вложении, то есть за элементом 1 вообще ничего нет. И соответсвенно все окрестности точки 1 это замкнутые или открытые интервалы вида (x,1 где 0<=x<=1 - и , как оказывается, все они принадлежат нашему множеству, из чего можно было бы сделать вывод, что оно открыто
Более или менее ясно, что речь здесь как раз и идет о замкнутости и открытости множества в себе, как базового множетсва на котором задана топология.
В общем, это совпадает с тем, что ты сказал ранее
А множество не обязано, казалось бы, быть куда-либо вложенным, разве не так ?

Mary82

Если я правильно тебя понял, то ты говоришь о том, что понятие "границы" тоже имеет смысл
только в терминах вложения. В этом случае, мне нечего тебе возразить.

Priss

да уж, ребята....
веселые вы тут споры ведете....
все что ли физики собрались кроме ФрауСоболевой?

slsf

А кто тебе сказал что мы физики ?
Лучше рассказал бы, просветил нас в области фундаментальных концепций естествознания.
И как мне кажется, это совсем не топология, как ты утверждал , а теория множеств
Быть может математический анализ ?
А ?

alex17171717

Это все херня, вы мне ответьте как из условия задачи следует, что речь идет о пустом множестве? Ведь и пустое множество и вся вещ-я прямая имеют пустые границы и пустое множество, как тут сказали, также находится на вещ-ой прямой?

stm7543347

1) М - открытое множество
И как мне кажется, это совсем не топология

stm7543347

То, что множество пустое, и то, что третье утверждение неверно, - никак не равнозначные утверждения. Ботай логику.

alex17171717

Из первого утверждения следует второе. Кто говорил про равнозначность? Учись читать.

alex17171717

Нах определения, у меня другая программа )

stm7543347

:
то есть если учитывать что правильный ответ это 1 и 2, то есть искомое множество не имеет мощность континуума, то это пустое множество. Но в условии задачи сказано, что искомое множество на вещ-й прямой и его границы пусты.
Это первое упоминание о пустом, которое я видел. Оно на твоей совести.
Однако (внимание!) из справедливости утверждения в субже следуют пункты 1) и 2 а 3) - несправедлив.
Если до следующего поста всё-таки не заботаешь логику - так и быть, объясню.

slsf

Это вопрос или отрицание ?
Цитата:
------
Топология (от греч. tоpos — место и ...логия) — часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Т. на ряд отделов («общая Т.», «алгебраическая Т.» и др. отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных
-------
Как тебе кажется, в каком месте данных рассуждений о бесконечных множествах, мы невольно вторглись в область понятия непрерывности ? Я пока не могу уловить где.

stm7543347

Поправьте меня, если я ошибаюсь, или лучше диплом к хренам отнимите, но в теории множеств понятия "открытое множество" нет. Оно появляется именно в определении топологического пространства.

Priss

не переживай и диплом свой себе оставь - пригодиться еще
просто тут физики как ты уже понял

slsf

Сэр, а кроме эмоций и бесполезных комментариев, Вы еще можете что-то конструктивное добавить ?
К нашей не безынтересной дискуссии.
Интуиция подсказывает мне, что вряд ли

Priss

Это все херня, вы мне ответьте как из условия задачи следует, что речь идет о пустом множестве? Ведь и пустое множество и вся вещ-я прямая имеют пустые границы и пустое множество, как тут сказали, также находится на вещ-ой прямой?
мне кажется ты притормаживаешь?
это нестрашно, тоже не переживай
читаем твой пост: "пустое множество и вся вещ-я прямая имеют пустые границы"
а значит они удовлетворяют сабжу и оба замкнуты и открыты, первое очевидно не континуально и значит утверждение 3) вообще говоря неверно.
зы. ничего личного

Priss

напрасно вы так, сер.

Priss

а к вашей необычайно интересной дискуссии могу добавить следующее:
набирать здесь в треде азы ТОПОЛОГИИ мне не очень хочется, поэтому предлагаю всем интересующимся взять например лекции такого замечательного препода как Е.В. Троицкий курс по дифгему (есть инете) и прочитать 2 страницы этих самых азов из соответствующей главы ("начала топологии" она что ли называется) и заботать все это за 4 минуты.

Priss

п.с. всяко получится быстрее и продуктивнее чем здесь пытаться что-то осознать.

slsf

Мы тут не заботать пытались, временами, а понимать
Спасибо за ссылку! Обязательно ознакомимся.

Priss

п.п.с. для особо ленивых могу попробовать поискать, у меня где-то валялся бумажный вариант этих лекций. Если нужно, конечно

slsf

Вероятно ты уже забыл свои прошлые посты ?
Там были весьма любопытные примеры опровергающие это твое утверждение
Тем более не так уж и много набивать пришлось, вопрос то, действительно, не очень объемный.

Priss

п3с. для меня это синонимы.

slsf

Думаю, что, формально говоря, ты прав. Но, все же, граница здесь не такая четкая и некоторые вольности в терминологии возможны.

Priss

много.
для начала пришлось бы объяснить вам что такое сигма-алгебра, потом дать определение топологии, а потом уже объяснять что к чему.

goga7152

для начала пришлось бы объяснить вам что такое сигма-алгебра
Так Вы нам и теорию меры могли бы заодно объяснить?

slsf

Быть могло, что мы знали, что такое сигма алгебра
Кстати сказать, в этой связи вспомнилась толстенная книга Ширяева по теории вероятностей
А попроще нельзя ? Как ты выражаешься для физиков

Priss

позволю себе не согласиться. Здесь топология, теория множеств непричем. (или может любой в вопрос в котором фигурируют множества относить к Т.М.? )

slsf

Priss

ну мог бы.. НО
1. вам оно надо?
2. мне оно надо?

Priss

возможно. они много где бывают.

slsf

Ок, подойдем в сложному вопросу с другой стороны.
Как ты считаешь, что входит в область, которую охватывает теория множеств?
В двух словах, если можно.
А такие элементарные вопросы теории множеств, которые обсуждались здесь, по моему мнению, относятся именно к теории множеств, не смотря на то, что являются каркасом для базовых понятий топологии. Впрочем, как оказывается, в проффессиональной математической классификации укрепилось иное представление на этот вопрос.

Priss

Вероятно ты уже забыл свои прошлые посты ?
Там были весьма любопытные примеры опровергающие это твое утверждение
Тем более не так уж и много набивать пришлось, вопрос то, действительно, не очень объемный.
пожалуй ты прав. если уж не стал набивать, то неча и флудить. на сим позволю себе закончить

Priss

эхх, не хотите вы меня отпускать.. ну ладно сейчас отвечу.

slsf

Да что Вы, не утруждайтесь! Я и сам могу найти ответ на интересующий меня вопрос.

Xephon

nado snesti etot flame
to, o chem vy govorite - obschaya topologia, no ee samye azy, tak chto eto mozhet vstrechat'sja i v drugikh kursakh, naprimer, fiziki, mogut eto vsyo uvidet' v kurse analiza
p.s. sorry for translit

Priss

хорошо.
напоследок просто аргументирую мое высказывание. (надо ж просвещать физическую общественность.. )
Т.М. - это вопросы прежде всего связанные с множествами как таковыми, что это такое и какие они бывают. Разные аксиоматики (ZFC например) и прочее, вопросы мощности. (возможно вам, как и нам, это рассказывали на матане)
А открытость и т.п. возникает при введении топологии и относится к одноименному разделу.

Priss

+1

alex17171717

Еще раз советую тебе научиться читать повнимательнее. Во первых, это было не утверждение, а косвенный вопрос. Во-вторых, это не первое упоминание пустого.

stm7543347

Неважно. Я не напрягался внимательно смотреть. Всё равно ответ 1)-2). И ниибёт, как говорят камрады падонки.

alex17171717

Да мне уже и не интересен этот вопрос. Как всегда, вся проблема в определениях и аксиомах.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: