[Диф. ур-я] Первые интегралы

Marina32

Кто знает, какие первые интегралы могут быть у такой сис-мы обыкн. дифф.ур:
a*x1+b*x2+c*x3=d
m1*(x1)' + m2*(x2)'+m3*(x3)' =0
(m1*x1)')^2)/2 +(m2*x2)')^2)/2 +(m3*x3)')^2)/2 =u(1- (1/(x3-x2^(gamma-1+(1-u1-1-u)/(x2-x1^(gamma-1
где m1, m2, m3, a,b,c,d, u, gamma - фикс. константы

Marina32

или просто подскажите, как решить эту систему(если просто выразить из первого х3 и подставить в первые 2 ур-ия, получится сис-ма относ. х1 и х2. как решать ее непонятно)

Marina32

хотя бы посоветуйте, где почитать!

soldatiki

Эта система описывает движение трёх материальных точек с массами m1, m2, m3.
Первое уравнение говорит о том, что тела во время движения остаются в одной и той же плоскости.
Смысл второго уравнения -- центр масс системы покоится в начале координат.
Третье -- это закон сохранения энергии. В правой части стоит потенциальная энергия некоторой силы, причём эта сила -- сила взаимодействия, так как зависит от разностей расстояний между точками (что-то типа гравитации).
Отсюда вывод: так как силы внутренние, кинетический момент системы постоянен, т. е.
m1*[r1,v1] + m2*[r2,v2] + m3*[r3,v3] = const
(где r - радиус-векторы, v - скорости, [.,.] - векторное произведение)
В полярных координатах \phi, r этот интеграл имеет вид так называемого закона сохранения площадей
\omega * r^2 = const
(где \omega - скорость изменения угловой координаты \phi)
Может, есть ещё какие-то интегралы, где, скажем, не содержится скоростей. Пока что ничего более на ум не приходит.
[offtop]
Вообще, нахождение первых интегралов -- это скорее искусство, чем наука. (Существовать-то они всегда существуют, но лишь иногда являются функциями "хорошего" вида и полезны в народном хозяйстве)
[/offtop]

soldatiki

Рецепты поиска первых интов были в Филиппове (зелёная тонкая книжица-задачник).
Про механические системы см. Мат. методы классической механики Арнольда.

Marina32

 [offtop]
Вообще, нахождение первых интегралов -- это скорее искусство, чем наука. (Существовать-то они всегда существуют, но лишь иногда являются функциями "хорошего" вида и полезны в народном хозяйстве)
[/offtop]
это-то ясно...
А \phi в данном случае что такое?

soldatiki

\phi --- это угловая координата полярной сиситемы к-т (в той самой плоскости, где происходит движение)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: