Помогите с методом парабол

ezhonok12

Люди, одним из численных методов вычисления определенного интеграла является метод парабол. На каждом элементарном участке по трем значениям нужной нам функции строится парабола и каким-то чудным образом получается формула вида:
интеграл=h/3*{y0+yn+4*(y1+y3+y5+...)+2*(y2+y4+y6+...)}, h-шаг интегрирования.
КАК?

spiritmc

Рассмотри один отрезок.
Через три точки (концы отрезка и середина) проводится парабола,
интегрируется соответствующая функция, получается выражение (y_l + 4 y_c + y_d) h/3.
Ставишь рядом n/2 таких отрезков длины 2h...
---
"Аллах не ведёт людей неверных."

ezhonok12

Наверное я тормоз, но я не понимаю как проведено интегрирование и что это за магические символы d, l,c?

spiritmc

Правый, левый, середина.
Проинтегрировать квадратичную функцию не можешь, что ли?
---
"Аллах не ведёт людей неверных."

seregaohota

Это формула Симпсона называется. Берёшь H=2h=1
\int_0^H y(x) dx = H*( k_0*y(0) + k_{1/2}*y(1/2) + k_1*y(1) )
Требуешь, чтобы интеграл от 0 до 1 давал точное значение для x в степени n при n=0,1,2
т.е. подставляешь y(x)=x^n
 

n=0: 1 = k_0 + k_{1/2} + k_1
n=1: 1/2 = 1/2* k_{1/2} + k_1
n=2: 1/3 = 1/4* k_{1/2} + k_1

Откуда k_{1/2}=4/6, k_0 = k_1 = 1/6
Проверяется, что правильный результат получается и для n=3, т.е. формула Симпсона
 
\int_a^b y(x) dx = (b-a)*( 1/6*y(a) + 4/6*y( (a+b)/2 ) + 1/6*y(b) )

точна для произвольного полинома 3 степени. Так как интеграл от погрешности порядка x^4 это x^5/5, то ошибка будет очевидно порядка C * y^{IV} * H^5, где C=const, y^{IV} - 4 производная в некоторой точке, H=b-a. Чтобы уменьшить ошибку уменьшаем H разбивая исходный отрезок на куски. В твоих обозначениях H=2h
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: