Решить интеграл

Ivanych

интеграл da*exp(-a^2)=корень из пи...это можно доказать на пальцах?а то чёт не допираю.

Lokomotiv59

Доказательство на пальцах: это табличный интеграл.
Другое доказательство: использовать комплан.

Ivanych

комплан?обоснуйте плиз.

NHGKU2

Есть короткое решение, основная идея которого в следующем: рассматриваем интеграл \int e^{-x^2-y^2}dy, который равен квадрату нашего интеграла, а затем легко вычисляем его, переходя к полярным координатам.

griz_a

Робин предложил красиво, а стандартно - через вычеты

roman1606

Ага, это симпатичный ход

MaMMolog

имхо это и есть стандартно. Т.к. эту задачу нередко предлагают на первом курсе, когда народ вычетов еще не знает

incwizitor

через вычеты - это нестандарт для данного интеграла.

Lene81

через вычеты - это нестандарт для данного интеграла
+1
Ибо особая точка тут только \infty, и та - существенно.

assasin

Ибо особая точка тут только \infty, и та - существенно.
Теорема о вычетах применяется к функции f(z)=e^{iz}/z, контур берётся такой: отрезочек [e;R], половина окружности |z|=R and Im z>0, отрезок [-R;-e], половинка окружности |z|=e and Im z>0. Затем e->+0, R->+\infty.
По-моему, оба метода стандартны.
Можно еще через гамма-функцию.

NHGKU2

Теорема о вычетах применяется к функции f(z)=e^{iz}/z, контур берётся такой: отрезочек [e;R], половина окружности |z|=R and Im z>0, отрезок [-R;-e], половинка окружности |z|=e and Im z>0. Затем e->+0, R->+\infty.
Чё-т я не совсем понял: во первых, эта функция голоморфна в описанной области, т.е. никаких вычетов там не будет. А во-вторых, как от твоей функции перейти к e^{-x^2}?

assasin

Да, я ступил. Почему-то при упоминании про вычеты в голове возник интеграл от (sin x)/x. Собственно, он так и считается, как я написал. Реально, а как исходный интеграл через вычеты считается?

NHGKU2

А фиг знает, что-то не могу сообразить.
Кстати, через гамма-функцию тоже очень просто получается, только нужно знать, что Г(1/2) равно корень из пи (берем один раз по частям, а потом замена x^2=t).

vovatroff

Реально, а как исходный интеграл через вычеты считается?
См. Лаврентьев, Шабат. Разобран там этот пример.
По поводу "оригинального способа" - он приведен, в частности,
в мат.приложении к учебнику Савельева по общей физике.
> интеграл от (sin x)/x
У нее тоже нет особенностей в C (целая).

assasin

Если мне не изменяет склероз, то там считается интеграл от exp(iz^2) сведЕнием его к интегралу от e^(-x^2) (который считается известным).

vovatroff

Дома гляну Лаврентьева-Шабата, завтра отпишу.

vovatroff

Глянул не только Лаврентьева-Шабата, но еще Привалова и еще одну физтеховскую книжку...
Нигде нет вычисления интеграла Пуассона через вычеты!
Вычисляется только косинус-преобразование Фурье гауссовой функции, причем контурным
интегрированием оно сводится к интегралу Пуассона, а потом говорится: как известно из курса
анализа, интеграл Пуассона равен корень из пи и т.д....
Что, не берется он вычетами? Математики, что скажете?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: