Задачка из теории меры

vitamin8808

На $\mathbb R$ задана мера $\mu$ такая, что
|\int_R \exp{2\pi i n x} d\mu| <= \frac{C}{n^2}. n>=1
Показать, что эта мера абсолютно непрерывна по мере Лебега.
Даже и не знаю, в какую сторону копать. А книжек ни одной под рукой нету.

afony

Если я не ошибаюсь, можно решать так:
l_m(f):=\int_{[m,m+1]} f(x) d\mu задает линейный непрерывный функционал над пространством L_2[m,m+1] для любого целого m и f\in L_2[m,m+1] (т.к. ряд из C/n^2 сходится и система \exp{\pm 2\pi i n x} - базис в L_2[m,m+1] ). => По теореме Рисса \int_{[m,m+1]} f(x)d\mu=\int_{[m,m+1]} f(x)g_m(x) dx, где g_m\in L_2[m,m+1] для любой f \in L_2[m,m+1] => на [m,m+1] d\mu=g_m(x) dx =>в силу произвольности целого m, \mu абсолютно непрерывна относительно меры Лебега (g_m\in L_1[m,m+1] ).

vitamin8808

>> система \exp{\pm 2\pi i n x} - базис в L_2[m,m+1]
Базис имеется в виду в L^2(\mu) ?
С какой стати ?

afony

Базис имеется в виду в L_2 по мере Лебега.

vitamin8808

а вместо с/n^2 подходит любая посл, которая из l^2 ?
это они с запасом...

afony

Я слегка перемудрил: для любого целого m существует ф-ия g_m\in L_2[m,m+1] такая, что
\int_{[m,m+1]} g_m(x)\exp{\pm 2\pi i n x} dx= \int_{[m,m+1]} \exp{\pm 2\pi i n x} d\mu => d\mu=g_m(x) dx на [m,m+1]. Действительно подходит любая последоательность из l_2, так что кто-то перестраховался.

afony

В моих рассуждениях есть дырка. Если меру \mu считать знакопеременной (т.е. зарядом то утверждение вообще неверно, достаточно взять \mu:=\delta(1)-\delta(0). Для решения задачи в случае положительной меры нужно подумать.

vitamin8808

ну мера в задаче, ясень пень, знакопостоянная.

vitamin8808

кстати, как доказать, что функционал \int f d\mu корректно определён ?
Ведь L^2 это классы эквивалентности...

afony

Выношу на рассмотрение другой вариант решения:
Без ограничения общности можно считать, что вся \mu сосредоточена на отрезке [0,1]. Пусть \mu(x) - та самая ф-ия ограниченной вариации, для которой d\mu(x)=d\mu. С учетом непрерывности \exp{2\pi i n x} , по теореме об интегрировании по частям интеграла Лебега-Стилтьеса (см. calculus\Saks S. Theory of the integral (Warszawa-Lwow, 1937LT171s).djvu) стр. 102) имеем \int_{[0,1]} \exp{2\pi i n x} d\mu=-\int_{[0,1]} (2\pi i n)\exp{2\pi i n x} \mu(x) dx, то есть |\int_{[0,1]} \exp{2\pi i n x} \mu(x) dx|\le C_1/n^3 =>
\mu(x) - липшицева => d\mu абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.

vitamin8808

а. А если мера не сосредоточена на [0,1] ?
б. А с какой стати функция \mu(x) ограниченной вариации ?

vitamin8808

кстати, а куда делась часть U(b)V(b) ?
Она же ненулевая!

afony

d\mu - конечная мера, как я понимаю. Поскольку все ф-ии \exp{2\pi...} - 1-периодичны, то можно перейти к мере d\mu* такой, что d\mu*(E):=\sum_{m}\mu(E+m где m пробегает все целые значения, E+m - параллельный перенос мн-ва E на m единиц, E\subset [0,1). Из абсолютной непрерывности d\mu* следует абсолютная непрерывность \mu, значения интергалов в условии не меняются. Это был ответ на вопрос о принадлежности носителя \mu отрезку [0,1). Далее (считаем d\mu*=d\mu \mu(x):=\int_{[0,x)} 1 d\mu. Очевидно, что \mu(x) имеет огр. вариацию, d\mu(x)=d\mu. И наконец, вопрос о концевых точках. Продолжаем \mu(x) с периодом 1 (необходимо для разложения в ряд Фурье тогда \mu(1+)=\mu(0-) просто из периодичности, так что часть U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-) в нашем случае нулевая.

vitamin8808

постой, mu(+1)=lim mu(x) при x->1 слева, я думаю, это не нуль, и
не mu(1 как там не продолжай по периодичности.
Кстати, не могу понять, что там такое Сакс понаписал, что за U(b+
функция же не определене вне отрезка [a,b]

afony

Да, верно. Но давай возьмем точку a непрерывности ф-ии \mu(x) и будем рассматривать \int_{[a,a+1]}, тогда проблем не будет.

afony

Под U(b+) он по-моему понимает U(b). Просто хочет подчеркнуть, что скачок слева в точке b также входит в U(b).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: