Вопросы и примеры по функану

Manechka

Привести пример последовательности, сходящейся п.в. , но не по мере( ДОБАВЛЕНО: для каких мер это возможно)
2. Следует ли из интегрируемости |f| интегрируемость f?
3. Привести пример интегрируемых ф-й Fn, сходящихся всюду на Х к интегрируемой ф-ии F, таких, что интеграл Лебега от Fn по Х стремится к \inf при n->\inf
Спасибо!

kachokslava

что такое сходимость по мере запамятовал - это скорее к действ.ану.
а п.№2 - простой. кто там не измерим по лебегу? кажется функция дирихле d(x)?
возьмём f(x)=d(x)-0.5
модуль = const=0.5, а сама функция неинтегрируема

ARTi

) 1/n ---> 0

NHGKU2

Функция Дирихле интегрируема по Лебегу (она не интегрируема по Риману).
Вместо неё надо взять индикатор неизмеримого множества.

ARTi

а п.№2 - простой. кто там не измерим по лебегу? кажется функция дирихле d(x)?
возьмём f(x)=d(x)-0.5
чушь
к сведению: функция дирихле d(x) измерима
но все будет верно, если вместо функции дирихле взять индикатор неизмеримого множества(такие бываюn! )

ARTi

Функция Дирихле измерима по Лебегу.
Вместо неё надо взять индикатор неизмеримого множества.
hi

ARTi

ща подумаем над 3)

Manechka

посмотри, пжлст, еще раз первый вопрос?

ARTi

1) 1/n ---> 0
так, чёто я налажал
дай определение сходимости по мере

NHGKU2

но по мере не стремится(см определение сходимости по мере)
Эта последовательность стремится по мере к нулю, поскольку каково бы ни было эпсилон>0, начиная с некоторого номера мера(1/n>\eps) = 0 -> 0, что и означает сходимость по мере.
Здесь нужно брать пространство с бесконечной мерой, поскольку если мера(X)<бесконечности, то из сходимости почти всюду следует сходимость по мере.

a7137928

кто там не измерим по лебегу? кажется функция дирихле d(x)?
Идея верна, но реализация безграмотна (уж извини )
Функция Дирихле, конечно же, еще как интегрируема. Всюду разрывна, но интегрируема. А вот если вместо нее взять индикатор неизмеримого множества (1 на множестве и 0 вне его то твое решение прокатит.
2 Вовчик.
1. Такого примера, конечно же, не привести, поскольку сходимость п.в. влечет сходимость по мере. Зато есть пример послед-ти, сходящейся по мере, но не сходящейся почти всюду.
Пусть все происходит на отрезке [0,1] с мерой Лебега.
Пусть A_i^n - отрезок [(i-1)/n, i/n], f_i^n - индикатор этого отрезка, i= 1...n, n=1,2,...
Тогда последовательность f_1^1, f_1^2, f_2^2, f_1^3, f_2^3, ... сходится по мере, но не сходится ни в одной точке отрезка [0,1]

NHGKU2

Пример последовательности, сходящейся п.в., но не по мере:
Х = R, мера Лебега.
f_n = {0, если x<n, 1, если x>n}, f = 0.
Это возможно только для пространств, для которых мера(Х)=бесконечности. В нашем случае мера Лебега на R.

ARTi

но по мере не стремится(см определение сходимости по мере)
меня глючит на стохастической эквивалентности просто

a7137928

Упс... ДОБАВЛЕНИЕ было очень важным. Я-то привык с вероятностными мерами общаться...
Теорема. На пространстве конечной меры сходимость почти всюду влечет сходимость по мере.
Сейчас дам пример пр-ва с сигма-конечной мерой, на которой будет реализован нужный пример.
Добавление: А вот и Робин уже все написал.

ARTi

не, на конечной мере не пройдёт

ARTi

3. Привести пример интегрируемых ф-й Fn, сходящихся всюду на Х к интегрируемой ф-ии F, таких, что интеграл Лебега от Fn по Х стремится к \inf при n->\inf
я придумал: индикатор отрезка от N до 2*N
такие индикаторы, понятное дело, стремятся к 0

Manechka

ВСЕМ ОГРОМНОЕ СПАСИБО!
а с 3м как?

Manechka

к нулю или к единице сходится?

ARTi

к нулю или к единице сходится?
к нулю

a7137928

Ты не путайся ты имел в виду "прокатит ли идея Робина на пространстве конечной меры"? Нет, не прокатит. Я уже сформулировал теорему про это выше.
Зато она подсказывает простой пример для третьей задачи.
3. Отрезок [0,1],
f_n = n^2 на [0, 1/n] и равна нулю на оставшейся части отрезка.
Тогда \int_X f_n dm = n -> \infty,
при этом f_n -> 0 почти всюду.

Manechka

а интеграл равен N ?

ARTi

а интеграл равен N ?
а как ты посчитал
шутю

a7137928

я придумал: индикатор отрезка от N до 2*N такие индикаторы, понятное дело, стремятся к 0
Это, конечно, пример к третьей задаче, но он использует сигма-конечность меры. Можно и без этого.

ARTi

я уже понял

Manechka

Х = R, мера Лебега.
f_n = {0, если x<n, 1, если x>n}, f = 0.
почему тут мера{ f_n не сх-ся к 0} стремится к нулю при n->inf? она же(мера) бесконечно вроде

NHGKU2

Сходимость почти всюду (на самом деле даже всюду): для любого х\in R будет f_n(x) -> f(x) = 0, n->\infty, так как начиная с некоторого номера все f_n(x)=0.
Сходимость по мере: для эпсилон=1/2, например, все множества {x: |f_n - f|>1/2} имеет бесконечную меру при любом n, а значит не могут сходиться к нулю при n->\infty. Значит, сходимости по мере нет.

Manechka

а как док-ть, что индикатор неизм. мно-ва неинт?

NHGKU2

Функция индикатор неизмеримого множества даже неизмерима, о какой интегрируемости может идти речь?
Интегрируемость определяется для измеримых функций. Неизмеримые функции, естественно, неинтегрируемы.

Manechka

мда...
спасибо и респект!

a7137928


Втупую проверить определение.

Manechka

так Робин вроде верно написал
тебе, кстати, тоже спасибо большое!

kachokslava

Согласен, слажал.

a7137928

Всегда пожалуйста

Irina_Afanaseva


Автор:
Тема: Re: Вопросы и примеры по функану
Функция индикатор неизмеримого множества даже неизмерима, о какой интегрируемости может идти речь?
Интегрируемость определяется для измеримых функций. Неизмеримые функции, естественно, неинтегрируемы.
конечный интеграл по неотрицательной мере бывает и от неизмеримых,
(супремум интегралов измеримых функций, не превосходящих данной)
но в курсе наверное этого определения не дают.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: