Функции Лежандра

ermsla

Кто-нибудь знает, что это за функции? Одна из таких функций является решением дифура
(1-x^2)*f '' - 2x*f ' + Cf = 0.

Andres

Полиномы общего вида P(x,l) = 1/(2^l*l!)*\diff^n{(x^2-1)^l}{x^l}
Например:

P(x,0) = 0
P(x,1) = 1
P(x,2) = 3/2*x^2-1/2
P(x,3) = 5/2*x^3-3/2*x
...

spiritmc

Они все являются решением этого диффура.
Это сферические гармоники, угловая часть решения
уравнения Лапласа в сферических координатах.
---
...Я работаю...

Sergey79

Вы говорите о полиномах Лежандра, или о функциях Лежандра?
 Полиномы Лежандра: каждый из них является решением того уравнения из представленного семейства дифуров, у которого С=l*(l+1 где l - 0,1,2,...
Если С так не представимо, то решениями будут функции и присоединенные функции Лежандра - не полиномы, не сферические гармоники.
 (1-x^2 ) y'' - 2 x y' + (v (v+1) - u / (1-x^2 y = 0
Это их уравнение, здесь v и u не обязательно целые. В случае, рассмотренном в первом посте, u=0.

ermsla

Если С так не представимо, то решениями будут функции и присоединенные функции Лежандра

А что это за присоединённые функции? Вроде для них должно быть какое-то хорошее интегральное представление. Что можно почитать по этому поводу?

vovatroff

Бэйтмен, Эрдейи.
2. Никифоров, Уваров.
3. Abramovits, Stegun.
4. I-net.
По-любому, функции существенно более редко используемые, чем полиномы,
так что информация неизбежно скупа. Но уж их инт. представления науке точно
известны. Более того, есть общий метод Лапласа, посвященный отысканию решений
линейных дифуров второго в виде контурных инегралов. Из него все эти
представления и получаются. Об этом см. Ландафшиц т.3 (приложения) или курс ТФКП,
например, Сидоров, Федорюк, Шабунин.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: