Маленькие вопросы по линалу

2941717

A - невырожденная вещественная матрица nxn.
Если a - собственное число A, то (a+1/a)/2 - собственное число B= (A+A^{-1})/2. Какие ещё вещественные собственные числа имеет матрица B?
2.
A - невырожденная матрица nxn. p(a)=det(I+aA).
deg(p(a<=n?

griz_a

Больше никаких, т.к. кратность сохраняется, а всего их n c учетом кратности
2. Да, поскольку любой элемент матрицы I+aA - линейная функция a

soldatiki

Да, поскольку любой элемент матрицы I+aA - линейная функция a
Кто-то из нас не выкупает: с каких это пор функции вида b[j](k) = 1 + kA[j] стали линейными? И как из этого следует оценка на степень многочлена? (прошу прощения, если ступил)

griz_a

 
b[j](k) = 1 + kA[j]

Линейная функция k
А определитель - сумма произведений по n элементов с разными знаками, каждый элемент линеен, значит определитель - сумма многочленов степени не выше n, т.е. многочлен степени не выше n

soldatiki

Все, догнал. В школе многочлены первого порядка линейными функциями звались

2941717

А почему алгебраическая кратность сохраняется?
И такой вопрос -
A - вещественная матрица nxn, p(A) - многочлен от A.
a - собственное число A алгебраической кратности m <=> p(a) - собственное число p(A) алгебраической кратности m?

griz_a

Алгебраическая кратность сохраняется потому, что решения Ax=ax также решения A^{-1}x=x/a и наоборот.
С р(a) - неверное утверждение. Собственные числа под действием многочлена могут слиться и кратность станет больше. Например, если многочлен x^2, а матрица диагональная с половиной 1, половиной -1, то кратность 1 была n/2, а станет n.
Но точно не уменьшится, т.к. решения Ax=ax будут также решениями p(A)x=p(a)x

2941717

Рассуждения о п/п решений уравнения показывают, что сохраняется геометрическая кратность. А алгебраическая (кратность корня характеристического многочлена)? (Геометрическая <= алгебраической.)
И нет ли у p(A) других собственных значений кроме как p(a)?

griz_a

) Виноват, я почему-то счел a+1/a взаимнооднозначным,а это не так. ЗНачит давай так. Пусть A - жорданова клетка. Если взять A^{-1}, то получится верхнедиагональная матрица с 1/a на диагонали, сложим и усредним, будет верхнетреугольная матрица с (a+1/a)/2 на диагонали, поскольку ЖНФ блочная, то так произойдет с каждой клеткой. У получившейся матрицы характеристический многочлен очевиден, ведь она верхнетреугольная. Что и т.д.
3) Аналогично берем клетку, возведение ее в степень и умножение на число не выведут за пределы верхнетреугольных матриц. Значит характеристический многочлен полученной матрицы не будет содержать никаких решений, кроме многочленов от старых с.з.

2941717

Спасибо.
Значит так:
a - собственное число невырожденной матрицы A => f(a)=p_1(a)+p_2(1/a) - собственные числа матрицы f(A)=p_1(A)+p_2(A^{-1} где p_1(x p_2(x) - многочлены.
Причём, алгебраическая кратность f(a) равна сумме алгебраических кратностей собственных чисел a_ матрицы А: f(a_)=f(a).
Других собственных чисел у f(A) нет.
4.
Ортогональный проектор A в стандартном базисе имеет ортогональную матрицу <=> A=I. Да? А то у меня какая-то путаница с терминологией.

griz_a

Спасибо.
Значит так:
a - собственное число невырожденной матрицы A => f(a)=p_1(a)+p_2(1/a) - собственные числа матрицы f(A)=p_1(A)+p_2(A^{-1} где p_1(x p_2(x) - многочлены.
Причём, алгебраическая кратность f(a) равна сумме алгебраических кратностей собственных чисел a_ матрицы А: f(a_)=f(a).
Других собственных чисел у f(A) нет.

По-видимому, так.
В первой части уверен, это легко. Вторая чуть похитрее, но, кажется, там все проходит, если разбить f^{-1} на однозначные ветви...Так с ходу не скажу, подумаю, как время будет.
Ортогональный проектор A в стандартном базисе имеет ортогональную матрицу <=> A=I. Да? А то у меня какая-то путаница с терминологией.

Если проектор в стандартном смысле, то он не уменьшает размерности пространства только если он проектирует на пространство размерности n, т.е. он тождественен
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: