вопрос по обозначению

bars70

в мат. статье по теории чисел рассматривается некая ф-ия е(n некоторыми свойствами похожая на экспоненту ( е(а+в)=е(а)е(в) ).
вот некоторая строка из статьи:
1 + e(t) + e(2t) + ... + e(pt) = p, если t целое
=0, если t нецелое
вопрос. что это за ф-ия?
вот такой вот "что, где, когда"
я не знаю, но в виду того, что ранее она никак не объявлялась(а в статье вводятся понятия даже самым известным вещам может это что-то известное..

Suebaby

Думаю, имеется ввиду $[math]$e(x)=e^{{2\pi ix}}$[/math]$

bars70

есть версия, что e(n) - первообразный корень в степени n
и есть такой результат, что сумма первообразных корней(а все они являются некоторыми степенями одного первообразного корня) равна ф-ии мебиуса от р-1(т. е. 0 либо 1 либо -1 в зависимости от четности количества простых делителей р-1)
можно ли это как-то склеить, и получить формулу первого сообщения..?

pygar

Пишешь, что функция от целого аргумента, далее подставляешь нецелый. Кроме того, первому условию из непрерывных и дискретных функций удовлетворяет только показательная, но тогда, складывая геометрическую прогрессию, из второй части второго условия (постоянство данной суммы при нецелом t) получаем, что основание искомой функции есть единица, что противоречит равенству суммы нулю.
Значит, ошибка у меня, или опечатка либо в статье, либо при переписывании.
Все общепринятые в московской школе ТЧ обозначения, а также совместные применение суммирования и функции Мёбиуса, см. в классической книге 'Основы теории чисел', И. М. Виноградов: http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/vinogradov.htm

bars70

действительно.
ф-ия определена не только для целых
если e(n) - это групповая единица в степени n, то вроде подходит.
сумма р единиц = р, а сумма всех корней р-степени из 1 равна 0
но тогда не понятно следующее неравенство, которое есть в статье:
сумма e(nx/p) <= 1/sin(пи*n/p)
сумма берется по всем х от 1 до р
может кто-нить сможет объяснить его происхождение.

pygar

> если e(n) - это групповая единица в степени n, то вроде подходит.
> сумма р единиц = р, а сумма всех корней р-степени из 1 равна 0
В первом посте (p+1) слагаемое. Без последнего слагаемого 'больше похоже на правду', так как
$[math][res=120]если $p\in\mathbb{N},\;p>1,\;e^{ti}$ --- первообразный корень $p$-той степени из единицы, то$$1 + e^{ti} + e^{2ti} + \cdots + e^{(p-1)ti} = 0$$[/math]$
Но у тебя написано, что равенство нулю должно выполняться при любом не целом t, а это, повторю, для показательной функции невозможно.

Оставить комментарий