Задача по ОПУ (не формализована)

Brodnik

Существует необходимость оценить в каких пределах меняется интеграл ниже.
[math] [res = 200]
{
$$
\int_-1^1 \frac{ \left( \frac {u(z)}{s} - \lambda_r \right) d \left( \frac{\tau}{u'(z)} \right) } { \left( \frac{u(z)}{s} - \lambda_r \right)^2 + \left( \frac{\tau}{u'(z)} + \lambda_i \right)^2 } \to max
$$
}
[\math]
Где [\math]$$ u(z) $$ [\math] — произвольная функция, у которой [\math]$$ u'(z) > 0, u''(z) > 0, z \in [-1; 1], $$ [\math], [\math]$$ s, \lambda = \lambda_r + i \lambda_i $$ [\math] — параметры задачи. Формально говоря, необходимы условия на концах отрезка [\math]$$ [-1; 1] $$ [\math], но их нет.
PS может быть я туплю и это вообще не адекватная постановка, или интеграл не ограничен. Просьба высказать мнения и возможные пути решения. В лоб считать — не благодарное занятие, как я прикидывал, удобоваримого не выйдет.

3deus

[math] [res = 200]
{
$$
\int_-1^1 \frac{ \left( \frac {u(z)}{s} - \lambda_r \right) d \left( \frac{\tau}{u'(z)} \right) } { \left( \frac{u(z)}{s} - \lambda_r \right)^2 + \left( \frac{\tau}{u'(z)} + \lambda_i \right)^2 } \to max
$$
}
[\math]
Правильнее писать так:
 [math][res=130]{\begin{equation*} 
{\int}_{-1}^{1} \frac{ \left( \frac {u(z)}{s} - \lambda_r \right) d \left( \frac{\tau}{u'(z)} \right) }
{ \left( \frac{u(z)}{s} - \lambda_r \right)^2 + \left( \frac{\tau}{u'(z)} + \lambda_i \right)^2 } \to max
\end{equation*}} [/math]

Тогда получится это:
[math][res=130]{\begin{equation*} {\int}_{-1}^{1} \frac{ \left( \frac {u(z)}{s} - \lambda_r \right) d \left( \frac{\tau}{u'(z)} \right) } { \left( \frac{u(z)}{s} - \lambda_r \right)^2 + \left( \frac{\tau}{u'(z)} + \lambda_i \right)^2 } \to max    \end{equation*}} [/math] .

griz_a

Что такое тау?
Для начала раскрой самостоятельно свой интеграл в удобоваримый вид, плз

Brodnik

 Итак, еще раз
Существует необходимость оценить в каких пределах меняется интеграл
 [math][res=130]{\begin{equation*}   {\int}_{-1}^{1} \frac{ \left( \frac {u(z)}{s} - \lambda_r \right) d \left( \frac{\tau}{u'(z)} \right) }   { \left( \frac{u(z)}{s} - \lambda_r \right)^2 + \left( \frac{\tau}{u'(z)} + \lambda_i \right)^2 } \to max,   \end{equation*}} [/math]
Где [math][res=130]{ $$  u(z)  $$ }[/math] — произвольная функция, у которой [math][res=130]{ $$  u'(z) > 0, u''(z) > 0, z \in [-1; 1],  s \in R, \tau > 0,  \lambda = \lambda_r + i \lambda_i, \lambda_i > 0 $$ }[/math] — параметры задачи. Формально говоря, необходимы условия на концах отрезка [math][res=130]{ $$ [-1; 1]  $$ }[/math], но их нет.
Если раскрыть дифференциал, то получится:
 [math][res=130]{\begin{equation*}   {\int}_{-1}^{1} - \frac{\tau u''(z)}{u'(z)^2} \frac{ \left( \frac {u(z)}{s} - \lambda_r \right) }   { \left( \frac{u(z)}{s} - \lambda_r \right)^2 + \left( \frac{\tau}{u'(z)} + \lambda_i \right)^2 } dz \to max,   \end{equation*}} [/math]
Если действовать согласно принципу Лагранжа (если не путаю название надо выписать уравнение
[math][res=130]{\begin{equation*}   \frac{d^2}{dz^2} \frac{\partial}{\partial u''} (L) - \frac{d}{dz} \frac{\partial}{\partial u'} (L) + \frac{\partial}{\partial u} (L)  = 0,   \end{equation*}} [/math]
где L — подинтергальное выражение. Что, как не сложно заметить, вряд ли даст что-то хорошее, плюс в любом случае нет никаких условий на границах отрезка.
Можно сделать замену в интеграле [math][res=130]{ $$ y = \frac{1}{u'(z)}  $$ }[/math]. Тогда подинтегральное выражение будет содержать только одну функцию [math][res=130]{ $$  \gamma(y) = u\left( (u')^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)\right)  $$ }[/math], и выглядeть будет поприятнее, но пределы интегрирования станут: [math][res=130]{ $$  \left[\frac{1}{u'(1)} ; \frac{1}{u'(-1)}\right] $$ }[/math]. И что делать дальше вообще не ясно.

Brodnik

PS найти точное решение задачи не критично. Вполне подойдут разумные оценки или численные решения.

seregaohota

Может заменой \phi = \pi z сведётся к какому-нибудь интегралу по замкнутому контуру на комплексной плоскости \phi = \Arg w. И надо какие-нибудь полюса посмотреть где у некой функции.
Хотя откуда интеграл взялся и непонятно что проще.

Brodnik

 
Может заменой \phi = \pi z сведётся к какому-нибудь интегралу по замкнутому контуру на комплексной плоскости \phi = \Arg w.

Честно говоря, не понял что имеется в виду. Рассматривать только функции u(z), которые аналитически продолжаются с отрезка [-1;1]? Я не против, но не вижу, каким образом это может упростить задачу.
Интеграл который выше взялся как действительная часть от интеграла
[math][res=130]  $$  \int_{-1}^1 \frac{ d\left( \frac{\tau}{u'(z)} \right) }{ \frac{u(z)}{s} - i \frac{\tau}{u'(z)} - \lambda }  $$  [/math]

Hana7725

Если положить [math]$s=1$[/math], [math]$\tau=1$[/math], [math]$\lambda=\mu(1+i)$[/math], [math]$u(z)=-(1-z)^{1/2}$[/math], то интеграл будет равен (Mathematica 5.2)
[math]  $$  \frac{1}{5} \left(4 \tan ^{-1}\left(3+\frac{5 \sqrt{2}}{\mu }\right)-2 \log (\mu )+\log \left(\mu ^2+3 \sqrt{2} \mu +5\right)-4 \tan ^{-1}(3)\right  $$  [/math]
а если [math]$s=-1$[/math], то
[math]  $$  \frac{1}{5} \left(4 \cot ^{-1}\left(\frac{3 \mu }{\mu +5 \sqrt{2}}\right)+2 \log (\mu )-\log \left(\mu  \left(\mu +\sqrt{2}\right)+5\right)-4 \cot ^{-1}(3)\right).  $$  [/math]
Отсюда следует, что sup (если он вообще конечный) будет для $s=1$ неограниченно расти при [math]$\mu\to+0$[/math], а для $s=-1$ - при [math]$\mu\to+\infty$[/math]. То, что производные u(z) неограниченны, я думаю несущественно. Можно приблизить гладкими функциями.
Так что для начала можно поставить вопрос, при каких значениях параметров sup конечен и когда стремится к бесконечности.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: