Изобразить шестигранник, у которого 12 ребер и 8 вершин

bars70

Нужно изобразить шестигранник, у которого 12 ребер и 8 вершин(как у куба но каждая грань которого не является четырехугольником.
Помогите, пожалуйста.
спасибо.

resident11

- это он.

Suebaby

все грани не четырехугольники.
такого не бывает:
суммарное количество сторон рёбер останется тем же (24)
и граней столько же (6)
т.е. в среднем грань будет иметь 4 стороны
поскольку это 6-гранник, то 6-угольной грани быть не может (т.к. к ней примыкает ещё 6)
значит это 3 треугольника и 3 пятиугольника
каждый пятиугольник имеет общее ребро с каждой из остальных 5 граней
у треугольников всего 9 сторон
при этом каждый пятиугольник имеет общее ребро с каждым треугольником
т.е. все 3*3=9 сторон треугольников являются также сторонами пятиугольников
т.е. треугольники между собой не граничат
степень каждой вершины равна 3 (иначе рёбер не хватит)
значит треугольники даже не имеют общих вершин
значит вершин хотя бы 9
противоречие

mtk79

от перестановки мест слагаемых сумма меняется (доказано Занусси):
"все грани не четырехугольники" non est "не все грани четырехугольники"

Lene81

Треугольная призма у которой вместо торцевых граней — треугольные пирамиды

Vlad128

Внимание, вопрос на засыпку: сколько сторон у боковых граней треугольной призмы?
Да и ребер там больше выходит :(

griz_a

Вместо граней пирамиды? :shocked:

Vlad128

да, более правильно "вместо грани — пирамида без грани"

lena1978

пирамиды вытягивают носы не наружу, а внутрь.

lena1978

все равно не получается :grin:

Vlad128

а как от этого зависит число ребер и вершин?

lena1978

ну ребро на две пирамидки можно наверно заюзать.
блин, хреново с воображенем, чую приду домой, сразу пластилин достану.

svetik5623190

В + Г - Р = 2.
Это я так, на всякий случай.

Vlad128

ну да 8 - 12 + Г = 2 => Г = 6.
Дальше что?

iri3955

Ну, вообще, не требовалась гомеоморфность сфере. Просто из этой формула она да, следует. К чему это?

griz_a

Вопрос в том, что под многогранником понимать. Вроде многранники с дыркой иногда относят к многогранникам, иногда нет.
Если взять тетраэдр и из него изнутри удалить еще один тетраэдр, то будет 2*4 вершин, 2*6 ребер и все грани треугольники.

lenmas

Может, у многогранника внутренность должна быть связная?

Vlad128

односвязная?

lenmas

Зачем? Пусть просто связная, чтобы дырки, не касающиеся границы, допускать.

Vlad128

а, ну тогда пример подходит =)

lenmas

Не, у него внутренность --- четыре несвязных тетраэдра, если я правильно его понял.

Vlad128

внутренность --- четыре несвязных тетраэдра, если я правильно его понял.
вот я тебя вообще не понял =)
У него тетраэдр большой, из него вырезается маленький, целиком и полностью лежащий внутри большого.
Ну например возьми любой тетраэдр и сделай гомотетию с коэффициентом 2. Вот то, что между ними — и есть предложенный «многогранник».

lena1978

Просто из этой формула она да, следует
да ладно? я всегда думал, что импликация в другую сторону.

lenmas

Ну, если так, то потребуем еще чтобы и граница была связной :p
Ну, то-есть чтобы многогранник (в смысле его внутренность) не разбивал пространство на куски :)

lenmas

да ладно? я всегда думал, что импликация в другую сторону.
Ты неправильно понимайт его русский языка, йа-йа, натюрлих :grin:

Vlad128

Ну, если так, то потребуем еще чтобы и граница была связной
это должно быть эквивалентно односвязности.

Vlad128

то-есть чтобы многогранник (в смысле его внутренность) не разбивал пространство на куски
вот это уже в чистом виде односвязность =)

lenmas

Ну например возьми любой тетраэдр и сделай гомотетию с коэффициентом 2. Вот то, что между ними — и есть предложенный «многогранник».
Я вот думал, что он взял середины граней, соединил, и выкинул получившийся тетраэдр :o

lenmas

это должно быть эквивалентно односвязности.
Как это, а баранка многогранная? :ooo:

Vlad128

Как это, а баранка многогранная?
имхо нормально, нет? :(

lenmas

То-есть многогранник --- такая фигулина, которую вылетев из любой точки пространства можно полностью осмотреть его поверхность. Ну и грани должны быть все плоские.

lenmas

имхо нормально, нет? :(
Так там же не все кривые можно деформировать в друг друга? :confused:

Vlad128

Так там же не все кривые можно деформировать в друг друга?
да, я вспомнил, что путал :crazy:
короче, мне засело в голову (одно из) определение односвязности для плоской области (внутренность простой кривой тоже принадлежит области и я думал, что там по аналогии. Да, это все левак. Связность границы — это то, что надо :D

griz_a

Это эквивалентные штуки.
to ABC - афаик связность границы иногда требуют, иногда нет. Главное требование - чтобы ребро двум граням принадлежало. Но тут уж автору решать, подходит ли пример. Ну и геометры может меня зачмырят :)
Тор, боюсь, на 8 вершинах не построишь

lenmas

короче, мне засело в голову (одно из) определение односвязности для плоской области (внутренность простой кривой тоже принадлежит области и я думал, что там по аналогии
Это двумерно-односвязные области. То-есть любые две поверхности, натянутые на один и тот контур, можно непрерывно внутри продеформировать друг в друга. То, что я сказал, это линейно-односвязные. В последних справедлива теорема о точности 1-форм (условие полного дифференциала в первых --- теорема о точности 2-форм при условии дивергенции равной нулю (то-есть что соленоидальные поля есть роторы). Так что ты тоже прав по-своему.

lenmas

to ABC - афаик связность границы иногда требуют, иногда нет. Главное требование - чтобы ребро двум граням принадлежало.
Но странные же области, у которых граница несвязна :grin:
Так можно до такого сыра дойти, что мама не горюй! :grin:

lena1978

Это эквивалентные штуки.
это как? если мы рассматриваем только сферы, то в этом классе да. любая сфера, для которой верна эта формула, будет гомомеоморфна сфере.

griz_a

А есть многогранники, не гомеоморфные сфере с каким-то числом ручек?

stm7543347

Листов Мебиуса захотел?

lena1978

так вы сначала договоритесь, что такое многогранник :)

lena1978

ладно, я понял, что имелось в виду

lenmas

В твоем примере сколько граней?

griz_a

Наверное, я все-таки фигню говорю и такую штуку называть многогранником плохо

griz_a

А вот такую? :)

lena1978

заглянул в Хилтона-Уайли, пишут, что минимальное разбиение тора - 7 вершин, 21 ребро и 14 треугольников.
зы. минимальная триангуляция имелась виду.

griz_a

интуитивно ясно, что 8 вершин это очень много ребер :(

Damrad

не покатит
Значение слова "Многогранник" в Большой Советской Энциклопедии:
Многогранник в трёхмерном пространстве, совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного называемого смежным с первым (по этой стороне); от любого из многоугольников, составляющих Многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, — к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами Многогранника
http://bse.sci-lib.com/article077253.html ну и там дальше...
  Приведённое определение Многогранник получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник. Если под многоугольником понимают плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся то приходят к первому определению Многогранник (вопросы, связанные с определяемыми таким образом Многогранник, будут рассмотрены в конце статьи). Основная часть статьи построена на основе второго определения Многогранник, при котором его грани являются многоугольниками, понимаемыми как части плоскости, ограниченные ломаными. С этой точки зрения Многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется Многогранник; отсюда возникает третья точка зрения на Многогранник как на геометрические тела, причём допускается также существование у этих тел «дырок», т. е. — что эти тела не односвязаны.
в твоем рисунке нарушается "каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного)"

griz_a

 
в твоем рисунке нарушается "каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного)"

Это где нарушается?
У меня 7 граней, 6 треугольников и один шестиугольник с дыркой. Каждая из сторон - место соприкосновения двух граней.
Когда я учился в школе, то такие шестиугольники с дыркой называли многоугольниками, ибо многоугольник - часть плоскости, ограниченная замкнутыми ломаными

Damrad

Каждая из сторон - место соприкосновения двух граней.
не каждая. посмотри на три ребра - место склейки маленькой пирамидки и большой

lenmas

А вот такую? :)
А тут сколько граней, каждый раз запутываюсь в подсчете :crazy:

griz_a

Ну да, у каждой две грани сходится. Шестиугольная и треугольная :confused:

lenmas

Ну да, у каждой две грани сходится. Шестиугольная и треугольная :confused:
Но в задаче просится шестигранник?

griz_a

Я хотя бы многогранник хочу построить. 6гранников нет, уже доказали

lenmas

Я хотя бы многогранник хочу построить. 6гранников нет, уже доказали
Так что, решения у исходной задачи не существует? :(
Странная тогда задача.
Автор треда, когда узнаешь решение, сообщи тут нам, какой ответ-то хоть! :D

griz_a

Мне доказательство баштанова показалось убедительным, хотя я особенно над ним не думал

Damrad

аа блин. точно. шестиугольная с дыркой. тогда сорри за наезд

lenmas

Мне доказательство баштанова показалось убедительным, хотя я особенно над ним не думал
А что, две грани могут только по двум ребрам соседничать, большим числом не могут по определению?
Я тоже не думал, надо внимательно просмотреть.

stm7543347

большим числом не могут по определению?
Нет, могут, конечно, если многогранник невыпуклый...

griz_a

Вот если так можно, то вот пример: пятиугольная пирамида, к которой на одно из ребер основания посадили еще две вершины.
Вроде 6 граней, 8 вершин, 12 ребер. Грани - 6угольник, 4 треугольника и пятиугольник

griz_a

Или нельзя брать два ребра на одной прямой?

Vlad128

Или нельзя брать два ребра на одной прямой?
вот это точно любят запрещать.

stm7543347

Если взять тетраэдр и на одном ребре сделать зарубку - это как, считается?
ЗЫ. Грань есть плоская фигура, что делает устоявшееся выражение "тонкая грань" гораздо интереснее.

Vlad128

Грань есть плоская фигура
ну, можно рассмотреть грани планарного графа на поверхности сферы.

stm7543347

Ой, да какая разница, третье измерение все равно не появится.

Vlad128

Если взять тетраэдр и на одном ребре сделать зарубку - это как, считается?
имхо, не должно. Т.е. вершины не мы задаем, а они естественным образом образуются в месте пересечения ребер. А ребра — в месте пересечения граней. А если две грани лежат в одной плоскости, то не должны пересекаться. Мне кажется как-то так =) Ну можно и ребрам, лежащим на одной прямой, запретить пересекаться.

Suebaby

Вопрос в том, что под многогранником понимать.
в условии по-русски сказано "шестигранник"
есть неодносвязные шестигранники штоле?

я тормоз
кстати, а всё же сколько минимум граней (варианты: рёбер, вершин) у неодносвязного многоранника?

Vlad128

есть неодносвязные шестигранники штоле?
а это-то тут причем? Это тут не утверждалось и не опровергалось.

Vlad128

кстати, а всё же сколько минимум граней (варианты: рёбер, вершин) у неодносвязного многоранника?

Suebaby

ээ, это минимум по всем трём параметрам?
кроме того, бывает же не тор а разность шаров например

Vlad128

кроме того, бывает же не тор а разность шаров например
так вот меня выше убедили, что это какая-то другая односвязность.

Vlad128

ээ, это минимум по всем трём параметрам?
В - Р + Г = 0

Suebaby

так вот меня выше убедили, что это какая-то другая односвязность.
проглядел выше определения, мне они все кажутся левыми
а не левыми кажутся такие два как:
а) первая фундаментальная группа тривиальна
б) все фундаментальные группы тривиальны
нде, я знатно туплю
пожалуй, свалю из этого раздела от стыда подальше

griz_a

можно и -2, тебя же не просят именно тору :)

Vlad128

т.е. у трехсвязной фигуры может меньше число вершин или ребер получиться?
Я формулу привел к тому, что на трех стульях не усидишь, т.е. все три параметра минимизировать не удастся.

bars70

насчет задачи:
задача со школьной олимпиады (московских школ) для 11 класса.
я решения не знаю.

lenmas

задача со школьной олимпиады (московских школ) для 11 класса.
Ничего себе над детишками измываются :crazy:

iri3955

В + Г - Р = 2 - 2g или 2 - a (вроде так, по памяти)
g - кол-во ручек, a - вол-во хуёвин (по-моему, это не точный термин) типа пришпандоренного к дырке листа мёбиуса.
Вроде бы этим исчерпываются 2-мерые односвязные многообразия, коими являются все компоненты связности
поверхности многогранника. А для многогранника (односвязного, но, возможно, с неодносвязной границей) эта величина - сумма эйлеровых характеристик для каждой компоненты связности границы.
То есть у нас, например, мог быть шар, а внутри тор или бутылка Клейна или и то и другое, либо проектвиная плоскость (a = 1 а внутри ещё одна,
но в этом случае на одну из границ всего <= 3 грани, чего явно недостаточно.

stamira

Взять деревянный тетраэдр и ударить несильно топором по ребру. Получится решение задачи.

lenmas

Взять деревянный тетраэдр и ударить несильно топором по ребру. Получится решение задачи.
А ведь действительно, подходит по всем параметрам :ooo: :)

Vlad128

АФИГЕТЬ!
Так я неправильно понял сперва, подумал, что это шутка, типа расколоть надо :)
Респект! :D
Алексей всем запудрил мозги! Да! Ему тоже респект!

lenmas

Кто ж знал, что грани могут соприкасаться по больше чем одному ребру! :grin:
Спасибо всем отметившимся в треде, повеселились :)

Vlad128

Кто ж знал
я знал, могли бы у меня спросить :grin:

lena1978

:o :grin:

stamira

это в какой-то конкретной школе было или во всех подряд?

Damrad

Взять деревянный тетраэдр и ударить несильно топором по ребру. Получится решение задачи.
нарисуйте, кому не лень, а?
Я как бы кое- что себе представил, но не могу это кое-что соотнести с
"Кто ж знал, что грани могут соприкасаться по больше чем одному ребру! "

stamira


Тля... забыл одно переднее ребро дорисовать. Но, вроде понятно. Те грани исходного тетраэдра, которые были испорчены топором теперь, как видите, соприкасаются по двум ребрам.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: