[логика] Запутался с теоремами Гёделя, помогите

Vadim46

Возьмем формальную теорию, построим в ней формулу G из теоремы Гёделя о неполноте. Про G мы, находясь вне системы, знаем, что она верна, однако доказать её изнутри системы не можем.
Добавим к теории в качестве аксиомы отрицание G. Получится непротиворечивая теория. (Если бы из аксиом+"не G" выводилось противоречие, то методом от противного из аксиом выводится G.) Однако извне системы мы видим, что она "несогласована", ибо G верна.
1. Как такое возможно? Можно ли дать какой-то конкретный пример похожей ситуации?
2. Как это соотносится с теоремой Гёделя о полноте, которая говорит, что непротиворечивая теория обязательно имеет модель?
3. Возьмем две теории: в одном случае добавим к аксиомам G, в другом — "не G". Является ли вторая теория в чем-то более ущербной, чем первая?

Vlad128

G = 5й постулат Евклида.
2. ?
3. PROFIT

Vadim46

G = 5й постулат Евклида
В теореме Гёделя речь идет о совершенно конкретной формуле G, которая утверждает, по существу: "Это предложение недоказуемо". Легко видеть, что она правдива. Про 5й постулат такого сказать нельзя.

vsjshnikova

Гуглить по слову "нестандартные модели арифметики".
По существу формула G утверждает "эта формула недоказуема", но внутри теории "не существует числа γ, являющегося геделевым номером доказательства формулы G". Так вот если мы принимаем аксиому ¬G, то мы просто утверждаем, что есть такое число. Такое число будет "неправильным", а модель этой теории - нестандартной моделью арифметики.

Vadim46

Точно, спасибо. Меня подвело то, что я не помнил подробностей доказательства.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: