Решить уравнение

tester1

Итак, в соседнем треде (его можно уже не смотреть) всё свелось к решению вот такого уравнения:
[math]$$ (\Delta f) (x)  -g(x) f(x) = \varphi(x$$ [/math]
где функции [math]$f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$[/math], [math]$g\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$[/math], [math]$\varphi\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$[/math].
Функции [math]$g$[/math] и [math]$\varphi$[/math] известны и имеют производные всех порядков, причём ограничены вместе со всеми своими производными.
Функция [math]$g$[/math] положительна и отделена от нуля, т.е. [math]$\forall x\in\mathbb{R}^n\quad g(x)\geq g_0\equiv\mathrm{const}>0$[/math].
Требуется разрешить указанное выше уравнение относительно функции [math]$f$[/math] и доказать, что она будет дифференцируемая бесконечное число раз и ограничена вместе со всеми своими производными.
Спасибо!

Sergey79

так может она не будет ограничена?

tester1

Хочется чтобы решение было ограниченным. Если не при любых коэффициентах оно будет таковым, тогда прошу привести примеры.

fabio

у тебя уже вроде стандартный для всех задачников вид получился

это боголюбов кравцов

tester1

По ходу да, осталось только найти конкретные формулы и теоремы существования решений для моего уравнения.
Ну и как-то надо ограниченность производных доказать ещё.

fabio

она может быть и неограничена - если у тебя напр уравнение колебаний и частота вынуждающей силы совпадет с собственной - резонанс и превед

tester1

у уравнения, обсуждаемого в настоящем треде, тоже могут быть неограниченные решения?

tester1

Даже вот как: существует ли такое [math]$\lambda>0$[/math], что уравнение
[math]$$ (\Delta f) (x)  -\lambda g(x) f(x) = \varphi(x)$$ [/math]
разрешимо при любой ограниченной со всеми производными правой части, а решение ограничено со всеми производными?

Sergey79

g =1, \varphi=0, f=exp(x)

Polyphem

Это же только говорит о том, что lambda = 1 не подходит. Или ...

Polyphem

Все, понял. Правильно все, в общем случае exp(sqrt(lambda) x)

tester1

Да, верно, что-то я тупанул. Твой пример показывает, что однородное уравнение имеет неограниченные решения. Спасибо.
Но нам же надо найти ограниченное решение неоднородного уравнения. Существует ли оно?

tester1

Общее решение неоднородного = общее решение однородного + частное решение неоднородного. Существуют неограниченные решения однородного; может быть, даже все ненулевые решения однородного неограниченны. Не страшно.
Нас-то интересует другой вопрос: существует ли хотя бы одно ограниченное частное решение нашего неоднородного уравнения при каком-нибудь [math]$\lambda$[/math]? А что в общем решении неоднородного есть неограниченные функции - это нам наплевать.

Lene81

Решаешь однородное, из его решения строишь функцию Грина, далее, частное решение неоднородного суть \int G(x, x') \phi(x') dx'
 

tester1

Ок, попробую.
Ну а как по-твоему, светят тут мне ограниченные решения или нет?

tester1

Решаешь однородное
А как решать неоднородное, если [math]$g$[/math] не константа?

lenmas

А как решать неоднородное, если [math]$g$[/math] не константа?
А там нельзя вариационным методом как-нить? Ну как уравнение Лапласа у нас на лекции Ландис решал?
У тебя же Штурм-Лиувилль многомерный, а он не сильно отличается от Лапласа.

tester1

Ребят, я не шарю, вот и попросил помочь.

Lene81

А как решать неоднородное, если [math]$g$[/math] не константа?
man функция Meijer G и уравнение, которому она удовлетворяет, например.

tester1

Так и не разобрался пока что.

Lene81

Так и не разобрался пока что.
Потому что ты зачем-то все сильно обобщаешь. Перестань скрывать и скажи, какое _точно_ уравнение тебе нужно решить — быть может, его решения известны.

tester1

В том-то и дело, что функции f и g неизвестны, известно лишь, из какого они класса - я написал, из какого - и известно, в каком классе хочется найти решение. Я хочу показать, что дифференциальный оператор сюрьективен, т.е. что уравнение разрешимо при любой правой части. Функция g является параметром оператора, её считаем известной, но не знаем на самом-то деле.
Я доказываю некоторое общее утверждение из функана, там и возникла необходимость показать сюрьективность оператора, желательно при каждом g.

Lene81

Тогда теория функций Грина тебе в помощь. Функция Грина может быть построена в виде произведения решений однородного уравнения. Дифференцируемость решений однородного, наверное, установить проще, тогда нужно будет только дополнительно обосновать правомерность дифференцируемости под знаком интеграла в формуле решения общего уравнения через функцию Грина.

tester1

Дифференцируемость решений почти очевидна. В самом деле, перенесём лапласиан в одну сторону, а всё остальное в другую. Если решение непрерывно, то его лапласиан непрерывен, и кважрат лапласиана непрерывен, и т.д. Это, конечно, ещё не доказательство, но, думаю, с гладкостью решения проблем не будет.
Самое сложное пока что на мой взгляд - это ограниченность решения.

tester1

Ответ на мой вопрос положительный!
В.Н.Крылов. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гёльдера. (перевод с английского) Новосибирск: Научная книга. 1998.
Страница 62, Следствие 4.3.4.
Всем спасибо.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: