Интеграл от дельта-функции

margo11

int_{-\infty}^{+\infty} (\delta(x) * (\delta(x) f(x' ) dx = 0
1) верно ли это?
2) верно ли это хотя бы для f(x) = 1?

Dr_Jones

) na intuitivnom urovne vrode da.
1) esli f'(0)=0, to vrode toge da.

lenmas

А звездочка - это умножить или свертка?

margo11

Звездочка - это умножить.

lenmas

Если аппроксимировать первую дельта-функцию такими дельта-образными финитными функциями, то вроде второе верно (в пределе). Первое с произвольной функцией f(x) в такой трактовке тоже вроде верно (если f(x) бесконечно дифференцируема)

margo11

А почему все пишут "вроде"? Может кто-то докажет? или знает где это может быть написано?

Sanych

'вроде' потому, что с точки зрения стандартного курса обобщённых функций написанное выражение не имеет смысла.

kachokslava

+1. Выражение смысла не имеет.

margo11

А как можно подправить вопрос, чтобы выражение имело смысл?

Sanych

Не умножать обобщенные функции, или указать физический смысл задачи, или полностью привести контекст, в котором вопрос возник. Если честно, я не знаю . Свёртку тебе уже предлагали.

kachokslava

дельта-функция - это "функционал", "оператор", действующий на функции.
δ(f) - так это записывается..
Есть нехилая теорема, про то, что любой линейный функционал можно представить в виде скалярного произведения с некоторым элементом того же пространства (с существенными ограничениями на пространство, типа оно должно быть гильбертово).
Можно "доопределить" (с непростым обоснованием) это всё дело на пр-ве непрерывных функций.
тогда скал. произведение на пр-ве функций будет таким:
(f,g)=∫ f(x) g(x) dx
Тогда можно "вообразить" существование некой мифической функции d(x посредством которой можно определить функционал
δ(f)=(d,f)= ∫ f(x) d(x) dx
эту самую d(x) нельзя называть "дельта-функцией". её можно пользовать только внутри интеграла и только умножив на другую функцию.

Dr_Jones

Znachit tak, Mega dokazatel'stvo, absolutno ne pravil'noe s tochki zreniya matematikov.
Itak, dogovorimsa, chto delta'(0)=0.eto mogno ponat' xotabi iz togo fakta, chto delta - chetnaya funkciya.
dalee. Polsuyas' estesstvennim togdestvom dla delti, a imenno int ot -inf do + inf ot delta(x)*g(x) dx = g(0) (* eto umnogit')
2) podstavlaem vmesto g(x) delta'(x i v silu nashego predpologeniya 2 punkt ponaten.
1) punkt dokazivaetsa putem integrirovaniya po chastam isxodnogo virageniya. to est' v itoge okazivaetsa delta(x)*delta(x)*f(x)v predele ot - inf do + inf -f(x)*delta'(x) pri x=0
Itogo eto viragenoe ravno nulu , esli f(x) - normalnaya funkciya, ne inf pri x = inf i pri x=0.
Pravda ya ponal chto tut nelza formalno pol'zovat'sa formuloi Newtona dla differencirovanoya.
No eto melochi !

kachokslava

а я вот утверждаю, что дельта - нечётная функция

zuzaka

одно другому не мешает

Sanych

а я вот утверждаю, что дельта - нечётная функция
А зря - это утверждение математически точное, но неверное.

stm6695598

рассмотрим квадратичный функционал
g \mapsto \int g(x) g'(x) dx
на D(R) он равен нулю и потому имеет единственное непрерывное продолжение на
пространство обобщенных функций --- нулевое.
Это к случаю f=1.

stm6695598

а к любому уточнению общего случая (для гладкой f и, тем более, негладкой
похоже, строится контрпример
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: