Параметрическая задача

Komandor

Достаточно давно попалась на глаза задачка. Было время, что тратил на её решение многие часы, а потом забил. Теперь вот снова обнаружилась. Может кто-то сразу увидит основную фичу этой задачи, тогда напишите.
Суть задачи найти все значения параметра "a", при каждом из которых уравнение
(x^2+2(a+1)x+a^2+2a)^2 + (a+5x^2-2(a+1)x+a^2+2a) - a^2 - 7a - 10 = 0
имеет:
1) единственное решение;
2) ровно два разных решения.

spartak74

А может быть не
(x^2+2(a+1)x+a^2+2a)^2 + (a+5x^2 - 2(a+1)x+a^2+2a) - a^2 - 7a - 10 = 0
а
(x^2+2(a+1)x+a^2+2a)^2 + (a+5x^2 + 2(a+1)x+a^2+2a) - a^2 - 7a - 10 = 0 ?

Komandor

Да мне бы тоже хотелось, что бы это было так. Тогда на лицо формула квадрата суммы (или разности но на самом деле условие написано верно!

lordkay

возми ткачука, найди там задачу и посмотри решение

Komandor

А эта задача там точно есть вместе с решением?
Если да, тоукажи её координаты (изд. стр. и т. д.)

lordkay

там есть задачи таког типа, когда похоже на сумму квадратов, но отличается знаком

Komandor

Я этот задачник более или менее изучил, но подобных задач, решения которых разбирались там, не нашел.

Mmose65

Не проверял. Идея такая.
b = a+1
c = a+5
Тогда исходное уравнение переписывается в виде
x+b)^2 - 1)^2 + c*x+b)^2 - 1 - 4*b) - b*c = 0
y = (x+b)^2 - 1
Получаем
y^2 + с*y - 5*b*c = 0 (*)
Соответственно, на первый вопрос, когда y=-1. Подставляя в (*) получаем квадратное уравнение на a. На второй вопрос, когда y<>-1 и (*) имеет решение ( D>=0). Это условие переписывается в квадратное неравенство относительно a.

Mmose65

Все-таки немного ошибся, но не принципиально.
В тех же обозначениях уравнине переписывается в виде
x+b)^2 - 1)^2 +c*x+b)^2 - 1 - 4*b - bc-c = 0.
(*): y^2 + c*y - 5*b*c - c=0.
Все остальное также.

Komandor

RESPECT, дорешаю сам, спасибо.

Evgewkin

Все-таки немного ошибся, но не принципиально.
В тех же обозначениях уравнине переписывается в виде
x+b)^2 - 1)^2 +c*x+b)^2 - 1 - 4*b - bc-c = 0.
(*): y^2 + c*y - 5*b*c - c=0.
Все остальное также.
Отец!

Sanych

В чем глубокий смысл этих игр с буквами? От переобозначения суть проблемы не меняется... а конкретная ошибка в том, что там
не (-4b) а (-4bx)

Komandor

ДА. Только сел решать задачу предложенным методом, сразу обнаружил ошибку: НАДО /-4bx/. Иначе неверно. А ведь я так надеялся... что эта подстановка к чему нибудь, да приведет.

Komandor

Ну так чё, будут еще интересные предложения по-поводу решения задачи ?

z731a

Формулы Феррари

Komandor

Действительно, чего там мелочиться.

z731a

) не при каких, потому что левая часть уравнения не может быть представлена в виде (x-p)^4, что легко проверить, анализируя коэффициенты при различных (0-3) степенях x

spartak74

В принципе, идея есть. Если обозначить
f(x) = <функция>
то требуется решить вопрос о числе пересечений графика многочлена 4ой степени и прямой y=0.
При непрерывном возрастании a график изменяется непрерывно, в критических точках a
(в которых происходит смена числа решений) график касается прямой y=0. Таким образом,
выполнено сразу два уравнения
f(x) = 0
f'(x)=0
это многочлен 4ой степени и 3ей степени. Путём вычитания одного из другого
можно свести систему к виду
x=G(a)
H(a)=0
где G(a) - дробно-рациональная функция, а H(a) - многочлен 4ой степени.
Как-нибудь мы H(a)=0 решим (наверное и получим a - критические точки.
Дальше дело техники.
Только вы уж как-нибудь сами, сами...

Komandor

Когда я впервые занимался этой задачей (прошедшим летом то действительно пытался рассматрвать, как меняются графики функций 4-ой степени и параболы при варьировании параметра.
Впринципе, при их соприкосновении (равенстве производных) в некой точке и при неком "a" получится ответ на вопос 1).
Но это очень муторное занятие и кроме как оценочно (приближенно решить эту задачу не удалось.

Unique

Ну а почему не применить теорему Виета для многочлена 4 степени по х ?
Там же - когда систему выпишешь на сумму корней и их попарные произведения - квадрат ур- я на а просто будут
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: