Задачи по теории вероятностей

lebuhoff

есть задачки, надо хотя бы в паре задач разобраться, чтобы уметь аналогичные решать.
1.Задача о трех шкатулках (Бертрана).
В каждой из трех одинаковых шкатулок А,В,С есть по два ящичка а и в. Каждый ящичек в шкатулке А содержит золотую монету, в шкатулке В – серебряную, а в С – один содержит золотую монету, а другой – серебряную. Наугад открыли одну шкатулку, и нашли золотую монету. Какова вероятность того, то вторая монета в этой шкатулке серебряная?
3.Найти Р(/X-E(X)/<3* D(X) ) , если Х имеет а) нормальное распределение с параметрами (0,2); б) показательное распределение с параметром =1; в) равномерное распределение на отрезке [-1;1]. Сравнить эти вероятности с оценкой, даваемой неравенством Чебышева.
4.Случайная величина Х имеет показательное распределение. Найти плотности распределения случайных величин: У=Х2 , У=Х1/2, Y=lnX*1/лямда
5.Двумерный случайный вектор (Х,У) имеет плотность распределения f(x,y)=C(x+2y при 0<=x,y>=2, и f(x,y)=0 в остальных случаях. Найти:
А) маргинальные распределения Х и У;
Б) Е(Х Е(У D(X D(Y Cov(X,Y коэффициент корреляции
6.1) Две случайные величины Х1 и Х2 независимы. Найти Е(Х1/ X1+X2).
2) Случайная величина Х имеет плотность распределения. Найти Е(Х/ X2=х х>0.
7.Случайные величины Х1, Х2 , … ,Хn независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (0,сигма2 i=1,…,n. Найти распределение случайного вектора Y=( Х1, Х1 +Х2 , … , Х1 +Х2 +…+Хn).

mtk79

E(X)
Может, M(X)?

plugotarenko

Оба обозначения используемы для математического ожидания.

griz_a

1.Задача о трех шкатулках (Бертрана).
В каждой из трех одинаковых шкатулок А,В,С есть по два ящичка а и в. Каждый ящичек в шкатулке А содержит золотую монету, в шкатулке В – серебряную, а в С – один содержит золотую монету, а другой – серебряную. Наугад открыли одну шкатулку, и нашли золотую монету. Какова вероятность того, то вторая монета в этой шкатулке серебряная?

А ящичек в шкатулке выбирался случайно или одна из 2 монет в шкатулке-золотая
Если равномерно случайно выбирается шкатулка, а в ней - ящик, то
P(монета2=серебрянная|монета1=золотая)=
(P(монета1=золотая,монета2=серебрянная,шкатулка A)+
P(монета1=золотая,монета2=серебрянная,шкатулка B)+
P(монета1=золотая,монета2=серебрянная,шкатулка C/
(P(монета1=золотая,шкатулка A)+
P(монета1=золотая,шкатулка B)+
P(монета1=золотая,шкатулка C=
=P(монета1=золотая,монета2=серебрянная,шкатулка С)/(P(монета1=золотая,шкатулка A)+
P(монета1=золотая,шкатулка С=(1/3*1/2)/(1/3+1/3*1/2)=1/3

griz_a

5.Двумерный случайный вектор (Х,У) имеет плотность распределения f(x,y)=C(x+2y при 0<=x,y>=2, и f(x,y)=0 в остальных случаях. Найти:
А) маргинальные распределения Х и У;
Б) Е(Х Е(У D(X D(Y Cov(X,Y коэффициент корреляции
C - это функция? Тогда
А) Маргинальное распределение X это
int_{R}(f(x,y)dy)=int_{2..inf}(C(x+2y)dy)=int_{1+x..inf}(C(t)dt)/2,x>=0
0 при остальных
Y -
int_{R}(f(x,y)dx)=int_{0..inf}(C(x+2y)dx)=int_{2y..inf}(C(t)dty>=2
0 при остальных
Б) Е(Х Е(У D(X D(Y Cov(X,Y коэффициент корреляции
Поехали -
EX=int(x*int_{1+x..inf}(C(t)dt)/2dx)
EY=int(y*int_{2y..inf}(C(t)dt)dy)
DX=int(x^2*int_{1+x..inf}(C(t)dt)/2dx)-E(x)^2
DY=int(y^2*int_{2y..inf}(C(t)dt)dy)-E(y)^2
Cov(X,Y)=int_{0..inf}(int_{2..inf}(xyC(x+2y)dy)dx)-E(X)*E(Y)
ro(X,Y)=Cov(X,Y)/sqrt(DX*DY)

mtk79

позволю себе выразить надежду, что условия задачи все-таки несколько другие:
 в
f(x,y)=C(x+2y при 0<=x,y>=2
С-все-таки константа, а область определения х и у ограничена. (Например, 0<=x,y<=2)
Иначе получаются тривиальные формулы из учебника, и непонятно, зачем уточнялись двойки, а не оставлялись произвольными константами

lebuhoff

ну да там отрезок от 0 до 2.

mtk79

чтобы все интегралы, написанные Фрау для более общего случая, считались и сходились (все-таки настаиваю, что С=конст, а не произвольная ф-ия нужно, чтобы и х, и у были ограничены, например от 0 до 2, т.е. должен быть квадрат (а не отрезок). Поэтому и предлагается правильно воспроизвести условие. Вообще, в курсах теорвера физ. и хим. факультетов (а, возможно, и на мехмате) энто было.

mtk79

для приличия, отмечусь 4
r вместо \rho -пл-ть
l вместо \lambda
r(t)=l*exp(-l*t)
a) F_Y (x)=P(Y<x)=P(X^2<x)=P(X<sqrt(x=int(r(t0..sqrt(x=1-exp(-l*sqrt(x x>0
0, x<0
r_Y(x)=diff(F,x)=1/2*l/x^(1/2)*exp(-l*x^(1/2
0,x<0
b) то же самое
F_Y (x)=P(Y<x)=P(sqrt(X)<x)=P(X<x^2)=int(r(t0..x^2)=1-exp(-l*x^2 x>0
0, x<0
r_Y(x)=diff(F,x)=2*l*x*exp(-l*x^2x>0
0,x<0
c) то же самое
F_Y (x)=P(Y<x)=P(ln(X)/l<x)=P(X<exp(l*x=int(r(t0..exp(l*x=1-exp(-l*exp(l*x x - любое
r_Y(x)=diff(F,x)=exp(l*x)*l^2-(-1+exp(exp(l*x)*l/exp(exp(l*x)*l)*exp(l*x)*l^2
в общем, если больше никто не откликнется, и очень срочно (а проблемы останутся заходите в В-1646-пр до трех (на бумаге быстрее объяснить)

railok

6 7 задачи сильно напоминают задачи по терверу, из года в год задаваешые в РЭШ

lebuhoff

ну в принципе тетя в ЦЭМИ преподает, поэтому может и в РЭШ заглядывать.

griz_a

Ну, если константа и 0<=min(x,y)<=max(x,y)<=2, то
А) Маргинальное распределение X
Cint_{0..2}(x+2y)dy=(2x+4)*C, при x из [0,1]
0 - иначе
Маргинальное распределение Y
Cint_{0..2}(x+2y)dx=(2+4y)*C, при y из [0,1]
0 - иначе
С находится из условия C*(4+8)=1 => C=1/12- Условия того, что интеграл от маргинальной плотности =1.
Б)
EX=int_{0..2}(x*(x+2)/6)=(8/3+4)/6=10/9
EY=int_{0..2}(y*(2y+1)/6)=(16/3+2)/6=11/9
DX=int_{0..2}(x^2*(x+2)/6)-(10/9)^2=(4+16/3)/6-100/81=5/9-19/81=26/81
DY=int_{0..2}(y^2*(2y+1)/6)-(11/9)^2=(8+8/3)/6-121/81=7/9-40/81=23/81
Cov(X,Y)=int_{0..2}(int_{0..2}(xy(x+2y)/12dy)dx)-110/81=int_{0..2}(x^2/3+x/3)dx-110/81=(8/3+2)/3-110/81=5/9-29/81=16/81
ro(X,Y)=Cov(X,Y)/sqrt(DX*DY)=16/sqrt(26*23)
Мог и обсчитаться %)

griz_a

6.1) Две случайные величины Х1 и Х2 независимы. Найти Е(Х1/ X1+X2).
2) Случайная величина Х имеет плотность распределения. Найти Е(Х/ X2=х х>0.
/ - это при условии?
Что за величина X - какая она?
7.Случайные величины Х1, Х2 , … ,Хn независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (0,сигма2 i=1,…,n. Найти распределение случайного вектора Y=( Х1, Х1 +Х2 , … , Х1 +Х2 +…+Хn).
(X1,X2,...Xn) - нормальный сл. вектор со средним 0, матрицей ковариации sigma^2*E
Матрица замены B -
1 0 0 0...
1 1 0 0...
1 1 1 0 ...
Матрица ковариации нового вектора будет S=siqma^2*B*BT, BT - транспонированная B
S = матрица
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
1 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
1 2 3 3 3 3 3 3 3 ...
1 2 3 4 4 4 4 4 4 ...
1 2 3 4 ......
1 2 3 4 ...
умноженая на siqma^2
Распределение нормального со средним 0 и матрицей ковариации S
PX1,X1+X2,...X1+X2..Xn) in dx) = 1/sqrt(2*pi*det(S*exp(x*S^{-1}*xT/2)
xT - транспонированный вектор x
А в левой части равенства - плотность искомого вектора в точке x

griz_a

3.Найти Р(/X-E(X)/<3* D(X) ) , если Х имеет а) нормальное распределение с параметрами (0,2); б) показательное распределение с параметром =1; в) равномерное распределение на отрезке [-1;1]. Сравнить эти вероятности с оценкой, даваемой неравенством Чебышева.
Может там корень из дисперсии? Если нет
Нер-во Чебышева P(|X-EX|<3*DX)>=1-1/9/DX
P(|X-EX|<3*DX)=F(EX+3*DX)-F(EX-3*DX где F - непрерывная ф-ия распр-ия.
а) int{-3*sigma;3*sigma) {1/sqrt(2pi)*exp(-x^2/2)
б) int{0,4}(exp(-x=1-e^{-4}
в) 1
Сравнивать надо
int{-3sigma,3sigma}(1/sqrt(2pi)*exp(-x^2/2)dx) с 1-1/9/sigma
1-e^{-4} и 8/9
1 и 2/3
Зачем сравнивать - не знаю, по нер-ву левые больше правых =)

lebuhoff

в 3 все-таки был корень из дисперсии, но разрешили не пересчитывать.
а вот в 6 задаче такие условия
6.1) Две случайные величины Х1 и Х2 независимы. Найти Е(Х1|x= X1+X2).
2) Случайная величина Х имеет плотность распределения. Найти Е(Х/ X2=х х>0

еще осталась 2 задача, где непонятно, лишнее условие или нет про 1 иск в прошлом году 9т к это пуассоновское распределение)
2. Портфель состоит из двух групп договоров. Группа с высокой степенью риска составляет 10%. Число страховых случаев распределено по закону Пуассона с параметрами: 0,6 для рискованных договоров и 0,1 для договоров с низким риском. Сколько в среднем ожидается страховых случаев по договору в будущем году, если в предыдущий период он привел к одному иску

griz_a

В 6 все равно понял только а. В б непонятно, через что выражать и как связаны X и X2
2. Портфель состоит из двух групп договоров. Группа с высокой степенью риска составляет 10%. Число страховых случаев распределено по закону Пуассона с параметрами: 0,6 для рискованных договоров и 0,1 для договоров с низким риском. Сколько в среднем ожидается страховых случаев по договору в будущем году, если в предыдущий период он привел к одному иску

А в предыдущем периоде были те же договоры? А закон Пуассона для числа случаев по 1 договору?

lebuhoff

те же договора. только смущает отсутствие последействия для пуассона.

lebuhoff

а можете сформулировать, что непонятно, чтобы задать преподу по е-мэйлу? а то осталось всего 2 задачки.

griz_a

Блин, неужели X2 - это x квадрат?

mtk79

но уж точно "нечто принципиально положительное". Может \chi^2?

lebuhoff

это нижние индексы.

mtk79

тогда нужна информация об X_2

lebuhoff

в пункте б 6 задачи это икс в квадрате, а в пункте а - икс №2

griz_a

Пиши тогда X^2, во избежание путаницы...А то я долго не мог понять связь X и X2.
б)E(X|X^2=x)=E(X*ind{X>0}|X^2=x)+E(X*ind{X<=0)|X^2=x)=sqrt(x)*E(ind{X>=0)-ind(X<=0)|X^2=x)=
sqrt(x)*(f(x)-f(-x/(f(x)+f(-x где f - плотность.

griz_a

В 6.а) в каких терминах нужен ответ - через что выраженный?
Иначе без одинаково распределенности трудно сформулировать ответ...
В 2) так все же - пуассоновское число исков по каждому договору? А число договоров неизвестно? Тогда условие прошлогоднего иска существенно.

mtk79

(f(x)-f(-x/(f(x)+f(-x
у меня получалось f(\pm sqrt(x вместо каждого f(\pm x)

griz_a

да, неправильно написал %)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: