Определение слабой сходимости операторов

Regina31

сабж

serengeti

A_n слабо сходится к A, если \forall x: A_n(x) \to A(x)
если мне не изменяет память

vovatroff

Это как раз сильная сходимость.
Слабая - по крайне мере, в евклидовом пространстве -
должно быть (x, A_{n} y) -> (x, A y) для всех x, y.
- скалярное произведение.

svetik5623190

Сильная сходимость - это сходимость по норме в пространстве операторов. A_n -> A iff ||A_n - A|| -> 0
Слабая сходимость это это поточечная сходимость, т.е. сходимость последовательности (А_nx) по n для любого x.

svetik5623190

А вообще глянь в Колмогорове-Фомине, может я и ошибаюсь насчёт слабой сходимости. Но вроде я прав.
Можно кстати ещё кучу сходимостей напридумывать на основе указанного выше. Можно заставить предел (A_nx) -> Ax быть пределом в слабой топологии на пространстве значений А и A_n. А можно потребовать, чтобы предел был равномерным по x. Как эти сходимости называются - не знаю.

vovatroff

Ни фига.
То, что вы назвали сильной сходимостью, называется РАВНОМЕРНОЙ.
Сравните с обычным анализом. Сходимость по норме.
То, что назвали слабой, есть СИЛЬНАЯ. Поэлементная. Сравните с "обычной"
сходимостью (в каждой точке) в анализе.

tvm131

Может имелось в виду определение *-слабой сходимости операторов?
Пусть имеются линейные операторы A_n, A : B -> C, где B и C - линейные нормированные пространства.
Говорят, что A_n *-слабо сходится к A, если \forall x \in B и \forall D \in C* ( пространство линейных функционалов над С ) выполнено
D ( A_n (x) ) -> D ( A (x) ) при n->\infty

svetik5623190

Я так понимаю что человек к экзамену готовится. Пусть посмотрит в КФ, в любом случае на экзамене надо отвечать экзаменатору то, что написано там.
А то что мы, обнаглевшие функанщики, забыли что как называется, что нам главнее суть определения чем его название, сдать ему экзамен не поможет а наоборот помешает.
И всё же я наставиваю, что сильная сходимость в пространстве операторов - это сходимость по операторной норме.

vovatroff

И всё же я наставиваю, что сильная сходимость в пространстве операторов - это сходимость по операторной норме.
Да Бога ради, как говорится, хоть горшком назови...
Я не помню, откуда у меня в голове взялась та терминология,
о которой я писал выше, но я точно не сам это придумал.
Я вообще не математик по профессии, и систематически
этот предмет не изучал, так что эклектизм в терминах в моем
случае неизбежен.
По-моему, эту терминологию я когда-то встречал в монографии
В.П.Маслова про асимптотические методы и теорию возмущений.
Другой авторитетный источник, может быть, еще Рид и Саймон.
Я не помню, какая там терминология используется.
Про экзамен согласен, лучше отвечать так, как давали в курсе.

Waleri58

в КФ я помню, что есть определение слабой сходимости линейных функционалов. и оно, кажется, звучало как сходимость значений.
насколько я понимаю, его можно заменить скалярными произведениями вместо функционалов. так и делают в некоторых курсах - определяют слабую сходимость через скалярное произведение.
как правильно обобщить до операторов что-то не совсем понятно?..

vovatroff

в КФ я помню, что есть определение слабой сходимости линейных функционалов. и оно, кажется, звучало как сходимость значений.
Да, но просто потому, что функционалы суть отображения в R или C.
Т.е. последовательности функционалов есть, по сути, числовые последовательности.
А для числовых последовательностей особо много разнообразных типов сходимости
не придумаешь
Ну вот разве что равномерную по всем аргументам еще можно определить.
Т.е. по норме функционалов.
насколько я понимаю, его можно заменить скалярными произведениями вместо функционалов. так и делают в некоторых курсах - определяют слабую сходимость через скалярное произведение.
Я бы сказал, не в некоторых курсах, а в евклидовых пространствах.
Точнее, в гильбертовых. По теореме Рисса, там каждый линейный непрерывный ф-л
представляется в виде скалярного произведения.
как правильно обобщить до операторов что-то не совсем понятно?..
Ну я же написал выше, что такое слабая сходимость операторов
в евклидовом пространстве.
В терминах квантовой механики это означает сходимость средних значений,
если так понятнее будет. (При x=y).
ПС: а еще можно было бы через спектр попробовать определить, наверное.
Например, как сходимость собственных значений и спектральных проекторов.
Но это определение не для всех операторов будет работать.

vokus

Слабая - по крайне мере, в евклидовом пространстве -
должно быть (x, A_{n} y) -> (x, A y) для всех x, y.
- скалярное произведение.

Это называется сходимостью в слабо-операторной топологии. (А сходимость \forall x X_n(x) -> X(x) — в сильно-операторной)
Под просто слабой сходимостью, если мне память не изменяет, обычно подразумевается сходимость, задающаяся преднормами, пробегающими все непрерывные функционалы, т.е. X_n \in E слабо сходится к X <=> \forall j \in E* j(X_n) сходится к j(X).

vovatroff

Выше almazz уже сформулировал что-то похожее:
Пусть имеются линейные операторы A_n, A : B -> C, где B и C - линейные нормированные пространства.
Говорят, что A_n *-слабо сходится к A, если \forall x \in B и \forall D \in C* ( пространство линейных функционалов над С ) выполнено
D ( A_n (x) ) -> D ( A (x) ) при n->\infty
В гильбертовом пространстве, в силу теоремы Рисса, это определение полностью эквивалентно
тому, о котором я говорил выше.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: