Сходимость выборочной медианы к теоретической

dal-las

Пусть X1,..,Xn - выборка из распределения F и m(n) - выборочная медиана.
Известно, что выборочная медиана, как оценка истинной медианы m распределения F, является асимптотически нормальной, т.е.
\sqrt(n) (m(n) - m) сходится по распределению к нормальной случайной величине с нулевым средним.

Вопрос: а сходится ли мат. ожидание выборочной медианы Em(n) к истинной медиане m, и, если сходится, то с какой скоростью?
(вообще говоря, из сходимости по распределению не следует сходимость мат. ожиданий)

Предположительный ответ, что да, сходится, со скоростью 1/sqrt(n но вот как это доказать?

griz_a

Почему не следует?
Ведь сходимость по распределению эквивалентна слабой, а сходимость мат ожиданий - частный случай слабой сходимости при f(x)=x. или я уже подзабыл материал?

dal-las

в определении слабой сходимости f(x) должна быть непрерывной и ограниченной

narkom

помоему подзабыл . Сходимость по матожиданию E(\|x_n-x\|^p)->0, а слабая Eg(x_n)->Eg(x). По моему так. Вообще говоря нет, при равномерной интегрируемости случайных величин следует. Может и при более мягких условиях.

dal-las

Можно привести пример последовательности функций распределений {F_n} слабо сходящуюся к стандартной нормальной ф.р. Ф(x но мат. ожидания для всех F_n не существуют:
F_n(x) = Ф(x) , если x >= -n
F_n(x) = c_n / x, если x< -n

griz_a

С ограниченностью тупанул

griz_a

Инета нет под рукой. Но ты все доказал, что надо? А то я придумал доказательство что именно с такой скоростью

griz_a

там даже плотность-то неправильно рассчитана

griz_a

И вообще у примера же нет матожидания, к чему бы ей сходиться?
ничего не понимаю...

dal-las

А можно озвучить доказательство?
А то там утверждают, что скорость порядка 1 / n.

dal-las

ну слегка неправильно, идея-то верная!

dal-las

Ну да, у распределения нет мат. ожидания, но медиана-то есть.
А вот у выборочной медианы мат. ожидания нет...

griz_a

Не, я понял. Я думал, что у тебя по условию матожидание есть. Тогда я вроде умею доказывать. Идея такая - записываем интеграл для матожидания медианы. Он оценивается C^n_{2n}*(2n+1)*матожидание, т.е. существует. Дальше C^n_{2n} заменяется на 1/sqrt(pi*n)*2^n по формуле стирлинга с точностью до как раз 1/sqrt(n). Теперь разбиваем интеграл на два - при abs(F(x)-1/2)>eps/sqrt(n)
(4*F*(1-F^n/2<exp(-4*eps^2/(2n
Если теперь этот множитель заменить на мажоранту, то при n>1 получим, что эта часть интеграла при фиксированном n стремится к 0 при eps->inf
А второй интеграл даст как раз m в пределе. Проблема правда в том, что там будет скорость сходимости не 1/sqrt(n а max(F^{-1}(1/2-eps/sqrt(n-m,F^{-1}(1/2-eps/sqrt(n-m т.е. порядка, зависящего от скорости приближения функции распределения к 1/2
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: