Помогите решить несколько вопросов по финмату!

Julia080682

Изучаю классическую теорию Башелье. Помогите разобраться в некоторых непонятных моментах, пожалуйста!

Мы рассматриваем динамику цены акции при помощи приращения логарифма цены в момент времени t за временной шаг h


Классическое предположение заключается в том, что


Следовательно, в момент времени T (а также в моменты t - только вместо T надо, конечно, t в последней строке поставить) цена имеет логарифмически нормальное распределение



1. Вопрос смешной, наверное, но я с условными матожиданиями не очень разбираюсь. Почему в цепочке равенств на рисунке ниже из-под знака условного матожидания мы можем вынести начальную цену и посчитать уже обычное матожидание? Я смутно могу это объяснить только так, что "условное матожидание при условии S0 - это то же самое, что посчитать обычное матожидание, которое будет зависеть от параметра S0, и при каждом фиксированном S0 это фактически будет константа, как если бы в функцию одной переменной подставить значение этой переменной". Ну то есть смысл в том, что S0 нам вроде бы не известна, но "при условии S0" подразумевается "при каждом фиксированном значении параметра S0 ответ такой-то". Если я где-то ошибаюсь хоть чуть, объясните мне, пожалуйста! Определения условного матожидания через разбиения и прочее я разобрала, а применить тут не могу.



2. Вопрос сложнее: в первой цепочке равенств под знаком "о малого" была стандартная нормальная случайная величина, умноженная на корень из h. Почему мы имеем право забыть про неё и оставить просто "о малое" от h? Обычное "о малое", которое изучают в матанализе на первых курсах ведь не имеет дела с вероятностью! Имеется в виду обычная сходимость. В каком смысле понимается "о малое", под которым была случайная величина? Тоже в смысле обычной сходимости?


3. Исходя из тех же соображений: непонятно, в каком смысле равенство (16) влечёт тот факт, что изменение цены асимптотически эквивалентно корню из h?

4. Нельзя ли было абсолютно так же вывести, что изменение цены эквивалентно корню из h, из первой цепочки равенств? Ведь применение теоремы Колмогорова фактически ничего не сделало со случайностью в выражении для изменения цены!

5. Единственная найденная мной теорема Колмогорова о переходных вероятностях, которая могла бы быть здесь использована, очень не похожа на то, что для квадратичного члена достаточно учитывать лишь математическое ожидание! Она очень абстрактна и относится к диффузионным процессам. Неужели здесь используется именно она? Если да, то как? Я не понимаю. Если не она, то которая?

KILLIR

1. Вопрос смешной, наверное, но я с условными матожиданиями не очень разбираюсь. Почему в цепочке равенств на рисунке ниже из-под знака условного матожидания мы можем вынести начальную цену и посчитать уже обычное матожидание? Я смутно могу это объяснить только так, что "условное матожидание при условии S0 - это то же самое, что посчитать обычное матожидание, которое будет зависеть от параметра S0, и при каждом фиксированном S0 это фактически будет константа, как если бы в функцию одной переменной подставить значение этой переменной". Ну то есть смысл в том, что S0 нам вроде бы не известна, но "при условии S0" подразумевается "при каждом фиксированном значении параметра S0 ответ такой-то". Если я где-то ошибаюсь хоть чуть, объясните мне, пожалуйста! Определения условного матожидания через разбиения и прочее я разобрала, а применить тут не могу.

Ты все правильно понимаешь. Этих интуитивных представлений об условном математическом ожидании тебе будет вполне достаточно.
2. Вопрос сложнее: в первой цепочке равенств под знаком "о малого" была стандартная нормальная случайная величина, умноженная на корень из h. Почему мы имеем право забыть про неё и оставить просто "о малое" от h? Обычное "о малое", которое изучают в матанализе на первых курсах ведь не имеет дела с вероятностью! Имеется в виду обычная сходимость. В каком смысле понимается "о малое", под которым была случайная величина? Тоже в смысле обычной сходимости?
При каждом фиксированном omega соответствующая величина есть о малое при h стремящемся к нулю.
3. Исходя из тех же соображений: непонятно, в каком смысле равенство (16) влечёт тот факт, что изменение цены асимптотически эквивалентно корню из h?

Здесь delta_h W_t имеет стандартное отклонение корень из h.
4. Нельзя ли было абсолютно так же вывести, что изменение цены эквивалентно корню из h, из первой цепочки равенств? Ведь применение теоремы Колмогорова фактически ничего не сделало со случайностью в выражении для изменения цены!

5. Единственная найденная мной теорема Колмогорова о переходных вероятностях, которая могла бы быть здесь использована, очень не похожа на то, что для квадратичного члена достаточно учитывать лишь математическое ожидание! Она очень абстрактна и относится к диффузионным процессам. Неужели здесь используется именно она? Если да, то как? Я не понимаю. Если не она, то которая?

Забудь, это совершенно не по сути.
На мой взгляд, тебе не стоит разбираться с "доказательствами", поскольку здесь все криво и ничего не понятно. Например, весь этот бред с о маленьким заменяет собой формулу Ито.
Попробуй выбрать и понять факты.

a7137928

Ты все правильно понимаешь. Этих интуитивных представлений об условном математическом ожидании тебе будет вполне достаточно.
А если так уж хочется строгих доказательств, то можно в любой книге глянуть свойства условного мат.ожидания. Там будет написано, что
Е(A*B|G)=A*E(B|G если A измерима относительно G
E(B|G)=E(B если B не зависит от сигма-алгебры G

Julia080682

То есть "о малое" есть обычное "о малое", просто при работе с реальными данными случайная величина заменяется на реализацию случайной величины и становится константой?

Что насчёт теоремы Колмогорова и того, что изменение цены эквивалентно корню из h, то обоснование этого мне очень нужно будет в дальнейших выкладках, ну и с меня этот факт серьёзно спросят ещё, а я в таких вещах не очень разбираюсь. Поэтому я бы хотела всё-таки понять, как можно (если есть шанс сделать проще) обосновать это!

Если я лезу в непонятные дебри, то как можно их обойти и как доказать асимптотическую эквивалентность изменения цены корню из h?

KILLIR

То есть "о малое" есть обычное "о малое", просто при работе с реальными данными случайная величина заменяется на реализацию случайной величины и становится константой?
Ну можно так сказать.
Что насчёт теоремы Колмогорова и того, что изменение цены эквивалентно корню из h, то обоснование этого мне очень нужно будет в дальнейших выкладках, ну и с меня этот факт серьёзно спросят ещё, а я в таких вещах не очень разбираюсь. Поэтому я бы хотела всё-таки понять, как можно (если есть шанс сделать проще) обосновать это!

Еще раз повторяю тебе, что в твоем источнике БРЕД. Какая цепь Маркова? Какие переходные вероятности? Цепью Маркова называется марковский процесс с ДИСКРЕТНЫМ пространством состояний. Где здесь такой процесс?
Если тебе это так нужно, ну выучи это "доказательство" наизусть. Понять не пытайся.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: