[решить простую задачу] разложить в ряд Лорана

igor196505

Разложить в ряд Лорана фу-ю cos( z/(z-1) ) в окрестности точки z=1 и определить область сходимости.
Думаю многим не составит труда решить данную задачку, просто сам я давно подобными вещами не занимался и очень боюсь наделать ошибок.

Vladimir52

Помогите решить одну задачку. Сам еще этого не проходил, надо девушке. Задача следующая:
Пробное выборочное обследование каждого малого предприятия области привело к следующим результатам:
Численность штатных до 5 6-10 11-15 16 и более
работников, чел
Число предприятий 36 18 7 2
С вероятностью 0,997 определите границы среднего размера численности штатных работников.

igor196505

Хм... Ваша задача совсем не по ТФКП... написали бы в отдельном треде...

wolf-cub

$[math]$\cos\left(\frac{z}{z-1}\right) = \cos\left(1+\frac{1}{z-1}\right)=\cos1\cos\frac{1}{z}-\sin 1\sin\frac{1}{z}$[/math]$
$[math]$\cos\frac{1}{z-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n)!}\left(\frac{1}{z-1}\right)^{2n}$[/math]$
$[math]$\sin\frac{1}{z-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}\left(\frac{1}{z-1}\right)^{2n+1}$[/math]$
Т.к. косинусы разлагаются по четным степеням, а синусы по нечетным, то
$[math]$\cos\left(\frac{z}{z-1}\right) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k\left(\frac{1}{z-1}\right)^k$[/math]$
где
$[math]$a_k=\cos 1(-1)^n\frac{1}{(k)!}$[/math]$ если $[math]$k$[/math]$ -четное вида $[math]$2n$[/math]$
$[math]$a_k=\sin 1(-1)^{n+1}\frac{1}{(k)!}$[/math]$ если $[math]$k$[/math]$ -нечетное вида $[math]$2n+1$[/math]$
Ряд должен сходится во всей плоскости кроме точки 1, т.к. у косинусов и синусов нет особых точек кроме бесконечности

igor196505

Спасибо.

krotms

я конешн, уже забыл все ряды, но разве ряд Лорана не от - беск до +беск?
Ты в тейлор разложил просто.

wolf-cub

если хочешь, можешь продолжить коэффициенты при положительным степенях (z-1) нулем.
Используя разложение тейлора для cos и sin получил разложение $[math]$\cos\frac{z}{z-1}$[/math]$ по отрицательным степеням (z-1).
Т.к. разложение в ряд единственно в голоморфном кольце, окружающем особую точку, то получим то, что надо.

Оставить комментарий