l-адические числа и делители нуля

vokus

Туплю, помогите. :)
Как показать, что в кольце l-адических чисел нет делителей нуля тогда и только тогда, когда l — степень простого числа?

margo11

определение напомни l-адических чисел

vokus

Можно определить, например, как бесконечные влево последовательности «цифр» от 0 до l-1 с плавающей точкой (но конечным числом цифр после точки) со сложением и умножением «в столбик».
Ну или как формальные ряды [math]$\sum_{i=m}^\infty a_i l^i, a_i \in \{0,\ldots,l-1\}, m \in \mathbb{Z}$[/math].

margo11

[math]В одну из сторон. Пусть $l$ - составное число, не степень простого. Тогда его можно представить в виде $l = ab$, где $a$ и $b$ - взаимно простые. Будем искать пару делителей нуля в виде $$ x = x_0 + x_1l + \ldots  \quad y = y_0 + y_1l + \ldots$$ Пусть $$xy = z_0 + z_1l + \ldots$$ Чтобы цифра $z_0$ оказалась нулевой, нужно добиться того, чтобы $x_0*y_0$ делилось на $n$. Возьмем $x_0 = a$, $y_0 = b$. Тогда цифра $z_1 = x_0y_1 + y_0x_1 + 1 = ax_1 + by_1 + 1$. Нужно добиться того, чтобы эта цифра делилась на $ab$. Очень просто. Сначала рассмотрим это как сравнение по модулю $a$: $by_1 +1 \equiv 0 (\mod a)$. Очевидно, оно имеет решение относительно $y_1$, поскольку $a$ и $b$ взаимно просты. Аналогично имеет решение сравнение $ax_1+1 \equiv 0 (\mod b)$. Поэтому разрешимо сравнение $z_1 \equiv 0 (\mod ab)$.[/math]
[math]Теперь перейдем к произвольной цифре $$z_i = x_0y_i + x_1y_{i-1} + \ldots + x_iy_0 + \alpha_{i-1},$$ где $\alpha_{i-1}$ - перенос из предыдущего разряда. Все цифры, кроме $x_i$, $y_i$ уже определены, поэтому сравнение имеет вид $ay_i + bx_i \equiv 0 (\mod ab)$. Аналогично, как и для $i=1$, найдется решение этого сравнения. Таким образом, закончено построение делителей нуля.   [/math]

vokus

Спасибо. :)

margo11

В другую сторону рекомендую вот что попробовать. Если l - степень простого числа p, то, расписав каждую цифру в p-ичной системе счисления и подставив это в формальный ряд, мы получим p-адическое число. Есть ощущение, что это будет изоморфизм колец (сумма очевидно перейдет в сумму, а вот про произведение - надо доказывать). Тогда то, что нет делителей нуля по модулю l, будет следовать из того, что нет делителей нуля в кольце p-адических чисел. Понятно, что делать?

vokus

В другую сторону рекомендую вот что попробовать. Если l - степень простого числа p, то, расписав каждую цифру в p-ичной системе счисления и подставив это в формальный ряд, мы получим p-адическое число. Есть ощущение, что это будет изоморфизм колец (сумма очевидно перейдет в сумму, а вот про произведение - надо доказывать). Тогда то, что нет делителей нуля по модулю l, будет следовать из того, что нет делителей нуля в кольце p-адических чисел. Понятно, что делать?
Да, то, что [math]$\mathbb{Z}_{p^n}$[/math] изоморфно [math]$\mathbb{Z}_p$[/math], я уже понял, спасибо :)
Можно и втупую доказать, что какие бы степени p мы бы не взяли в качестве первых цифр делителей нуля, чтобы получить первый 0, вторые не подберутся.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: