Генерация сетки в задачах аппроксимации

Klubych

Есть задача: аппроксимировать очень дорогую многомерную функцию. Вопрос: какие есть методы выбора сетки для аппроксимации? Понятно, что хотелось бы, чтобы сетка содержала побольше точек в областях, где функция сильно "изменчивая" и поменьше там, где функция меняется мало. Может кто знает ключевые слова или статьи по этой проблематике?

Vlad128

В соседней теме про эксперименты КОНТРА писал об этом.

Klubych

Там не совсем про то, там про минимизацию ссылки. А у меня задача скорее "найти набор точек, значения в которых наилучшим образом характеризуют исследуемую функцию". При этом ясно, что в общем случае выбор точек зависит от того, что вкладывается в понятие "наилучшим образом характеризуют".

seregaohota

Ну, например, предполагая что функция гладкая, посчитаем от этой функции интеграл рекурсивно с некой точностью. Для одномерного случая сравнивается квадратурная формула по всему отрезку и по 2 его половинкам, если точность не достигнута - функция интегрирования рекурсивно вызывает себя для каждой половинки с половинной точностью. Вот такой подход построит тебе сетку более частую там, где функция быстро меняется.
В двумерном случае рабиение области идёт на 4 части, например треугольник делится на 4 подтреугольника, и т.д.

Klubych

Непонятно, почему треугольник надо делить именно на 4 части, скорее уж квадрат на 4 равных квадрата (а куб на 8 равных но это лирика=)
Подход понятен, похожие мысли были у меня самого, только я думал использовать другой критерий "изменчивости" (сумму частных производных например). Но ведь наверняка проблема не нова и есть какие-то исследования на эту тему. К сожалению все поиски в гугле приводят меня в итоге к задаче минимизации, а здесь проблема несколько шире, так как сначала хотелось бы аппроксимировать, а потом решать что именно нам от этой функции надо.

afony

Для функции одной переменной на отрезке используют в качестве узлов интерполяции нули полиномов Чебышева - так удается получить лучшую оценку уклонения на классе функций с заданным модулем непрерывности. Может в n-мерном случае для параллелепипеда попробовать взять узлы интерполяции из декартового произведения нулей одномерных полиномов Чебышева по каждой из переменных?

kachokslava

adaptive mesh [refinement, generation, et al]

spiritmc

> К сожалению все поиски в гугле приводят меня в итоге к задаче
> минимизации
Потому что надо искать по ключевым словам "Вороной" и "Делоне."
---
"Vyroba umelych lidi, slecno, je tovarni tajemstvi."

blackout

Поправь меня, если я ошибаюсь. Но триангуляция Делоне нужна, если уже есть множество вершин треугольников и надо только выбрать треугольники, а здесь другая задача.
Или может по Делоне можно еще что-то найти, но тогда уточни запрос.

blackout

Для случая функции двух переменных есть например такой критерий:
Пусть функция задана в вершинах квадрата АБСД с центром О. Тогда рассмотрим три числа
(Ф(А) + Ф(С/2 , (Ф(Б) + Ф(Д/2 и Ф(О). У линейной функции эти числа равны, соответвенно если они сильно различаются, то функция на квадрате сильно нелинейная и его можно дробить дальше.
А вообще что тебе надо? Найти наиболее характерные точки функции или еще и построить по ним триангуляцию?

spiritmc

Если ты просто поищешь, ты наткнёшься на всё, что надо.
Просто создание сеток --- это область имени Делоне.
Там, как правильно говорит , есть методы уточнения сеток
так, как надо. Это вам не топология, это серьёзная наука, иначе
дома-мосты падать будут и химзаводы взрываться.
---
"Нахер нужны выпускники мехмата, если они за третий класс
математику не знают... Мозг высшей геометрией разрушен."
apafelak
P.S. Я ссылок не приведу, не помню. Я видел практические решения,
как это делается.

Klubych

Спасибо, буду ботать
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: