Существование предела

filippov2005

Дана последовательность{a_i}, 0< a_i <1
Верно ли, что если (n+m) * a_{n+m} > n * a_n + m * a_m, для любых n, m, то существует предел lim{a_n} при n -> \infinity.

Vitaminka

надо доказать что она возрастает
по индукции например
и тогда существование предела доказано

haltay

Надо доказать, что функция не может возрастать при таком определении.

Afonya

Да.
Пусть c_k = max( a_n | 2^{k-1} < n <= 2^k ) , b_k = min( a_n | 2^{k-1} < n <= 2^k ) .
Тк a_{2n} > a_n, то c_k - возрастающая посл-ть, у нее сть предел c. Покажем, что b_k имеет тот же предел.
Очевидно, что b_{k+1} > c_k * x + b_k * (1-x где x = n/m, n - номер места c_k, m - номер места b_{k+1}. Следовательно, 0.25 < x < 1. Из этой формулы следует, что b_k - также возрастает и имеет предел b.
Пусть k таково, что c - c_k < eps и b - b_k <eps.
Тогда, c - b < с - b_{k+1} + eps < (с - c_k)*x + (c - b_k)*(1-x) + eps < 2*eps + (c - b_k)*0.75 < 2*eps + (c - b)*0.75 . Теперь, если c - b > 0, то взяв eps = (c - b)/10, получаем противоречие.

filippov2005

Она может быть не монотонной. Например, начинается с a1 = 0,1 a2 = 0,5 a3 = 0,4, a4 = 0,6 и далее возрастает.
Итак утверждение о монотонности неверно. Возможно, верно что она монотонна с некоторого момента, но, _скорее всего_, это тоже неверно, небольшие нарушения монотонности можно будет организовать бесконечно много раз.

filippov2005

Спасибо

Afonya

Блин, перепутал в обозначениях b_k и c_k. Подправлено.

filippov2005

Да, я итак понял по доказательству

Vitaminka

у нее подпоследовательность монотонная
это я наброски кинул:)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: