Задача по функану

vc_orlov

Доказать , что топология с поточечной сходимостью в С[a,b] не метризуема .

griz_a

Плавающая ступенька - индикатор k/nk+1)/n по очереди все k, n

vc_orlov

Че блин ? Да я ж ниче не знаю . Можно по-подробней плс ?

griz_a

В поиск слазь.
По-моему, я уже писал про плавающую ступеньку Рисса.
Если взять такие ступеньки - 1 на [k/n;(k+1)/n]. Взять всю последовательность по совокупности индексов, тогда получится последовательность, которая
а)Должна сходиться в метрике.
б)Не сходится почти наверное.
Потому что в каждой точке куча ступенек при любом индексе n при некотором k в этой точке 0, при некотором 1.
Сходимость в метрике сейчас написать не успеваю.
.либо лезь в поиск, либо жди до завтра, либо ищи кого-нибудь еще.

lena1978

а я там просто первой аксиомы счетности не наблюдаю. или я слепой?
парадокс, но некоторые функанисты не знают, что такое характер точки в топологическом пространстве.

griz_a


Где там?

lena1978

в С[a,b] с топологией поточечной сходимости

vc_orlov

Жду до завтра

lena1978

тока это совсем про другое

griz_a

Все, я готов написать решение
Рассмотрим функции f_{k,n}=1 при x in [k/2^nk+1)/2^n], 0 - иначе. k in 1..2^n
Предположим, что сходимсть почти всюду метризуема, т.е. существует метрика ro: ro(x_n)->ro(x тогда и только тогда, когда x_n->x п.в.
Во-первых, наши f_{k,n} не сходятся п.в по совокупности индексов (т.е. посл-ь такова - n увеличивается на 1, k пробегает все свои значения при таком n и т.д т.к. для любой точки, для любого сколь угодно большого n при разных k наши функциии в этой точке принимают и 0, и 1, т.е. значения функций в любой точке не сходятся.
С другой стороны, если рассмотреть любую подпоследовательность, в которой при каждом n не более чем один представитель, то она сходится п.в, т.к. для любого N суммарная длина участков, где функции с n>N равны 1 меньше 2^N, а вне этого множества все функции 0, т.е.
при N->inf мера тех точек, где, возможно нет сходимости, стремится к 0. Это стягивающиеся множества из не более чем счетного объединения отрезков, предыдущее содержит последующее, т.е. они стягиваются к множеству меры 0. (по т. о стягивающихся отрезках).
Так как вся последовательность f_{k,n} не сходится п.в., то ro(f_{k,n},0) не сходятся по совокупности индексов, значит найдется eps>0: для любого N найдутся n>N,k: ro(f_{k,n},0)>eps.
Имеем последовательность, все члены которой отстоят от 0 по крайней мере на эпсилон, из нее можно выделить подпоследовательность, в которой каждому n соответствует не более одного члена последовательности, а такая сходится п.в, т.е и по метрике. Противоречие, т.к. она отделена от 0, но сходится к нему.

lena1978

Предположим, что сходимсть почти всюду метризуема, т.е. существует метрика ro: ro(x_n)->ro(x тогда и только тогда, когда x_n->x п.в.
не понял, а причем тут сходимость п.в.?

griz_a

Не понял в чем проблемы. По-моему, все ок.

plugotarenko

Просили про поточечную сходимость в C[a,b], а не про сходимость почти всюду.
Твои функции же даже не непрерывны.
Но идея правильная.
Твой решение, наверно, доделывается заменой индикаторов на горбики.

Priss

 
Все, я готов написать решение
Рассмотрим функции f_{k,n}=1 при x in [k/2^nk+1)/2^n], 0 - иначе. k in 1..2^n
Предположим, что сходимсть почти всюду метризуема, т.е. существует метрика ro: ro(x_n)->ro(x тогда и только тогда, когда x_n->x п.в.
Во-первых, наши f_{k,n} не сходятся п.в по совокупности индексов (т.е. посл-ь такова - n увеличивается на 1, k пробегает все свои значения при таком n и т.д т.к. для любой точки, для любого сколь угодно большого n при разных k наши функциии в этой точке принимают и 0, и 1, т.е. значения функций в любой точке не сходятся.
С другой стороны, если рассмотреть любую подпоследовательность, в которой при каждом n не более чем один представитель, то она сходится п.в, т.к. для любого N суммарная длина участков, где функции с n>N равны 1 меньше 2^N, а вне этого множества все функции 0, т.е.
 при N->inf мера тех точек, где, возможно нет сходимости, стремится к 0. Это стягивающиеся множества из не более чем счетного объединения отрезков, предыдущее содержит последующее, т.е. они стягиваются к множеству меры 0. (по т. о стягивающихся отрезках).
Так как вся последовательность f_{k,n} не сходится п.в., то ro(f_{k,n},0) не сходятся по совокупности индексов, значит найдется eps>0: для любого N найдутся n>N,k: ro(f_{k,n},0)>eps.
Имеем последовательность, все члены которой отстоят от 0 по крайней мере на эпсилон, из нее можно выделить подпоследовательность, в которой каждому n соответствует не более одного члена последовательности, а такая сходится п.в, т.е и по метрике. Противоречие, т.к. она отделена от 0, но сходится к нему.
РЕСПЕКТ ТЕБЕ!
далеко не каждый готов так подробно вбить решение этой довольно стандартной задачи (большинство просто заломало и они бы отослали к какой-нибудь толстой книжке.. )

Priss

Твои функции же даже не непрерывны.
разумное замечание

Priss

чуве - мой тебе совет - напрягись.
из того что уже написано в треде совсем несложно сообразить решение

griz_a


Да, с горбами, наверное, пройдет. Я почему-то подумал, что п.в. и в L1, когда набивал...
Достаточно рассмотреть не индикаторы, а функции равные 0 вне отрезка [k/n;(k+1)/n] и линейно поднимающиеся из 0 в 1 на первой половине такого отрезка, линейно опускающиеся обратно в 0 на второй половине. Вроде работает

vc_orlov

Чуве напрягся . Все ок .Всем спасибо бальшое . Просто книг у меня нет больших , а на функане я раза 3 был .
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: