Каково максимальное число выпуклых функций на отрезке

Gugumot

Каково максимальное число выпуклых функций на отрезке [0,1], таких что все функции ортогональны друг другу в смысле что [math]$\int_0^1 f(x)g(x)dx = 0$[/math]

stm8853410

Думаю, ответ три. Пример просто нарисовать можно, а оценку умею делать то ли на пять, то ли на шесть, пока не понял.
Идея оценки: у выпуклой функции может быть не более двух корней. Если функций достаточно много, то можно найти две пары функций f_1, f_2 и f_3, f_4 такие, что некоторая выпуклая комбинация f_1 с f_2 имеет такие же корни, как некая комбинация f_3 c f_4. А в таком случае эти комбинации не могут быть ортогональными.

Lene81

А по-моему, только одна. Всякая ортогональная выпуклой функции функция невыпукла.

griz_a

f(x) = 0, f(x) = 1, f(x) = x-1/2
Что я делаю не так?

Lene81

Что я делаю не так?
А, я понял, где моя ошибка — в доказательстве я перешел от произвольной выпуклой функции к такой же, но нулевой на концах отрезка f(x) -> f(x) - f(01-x) - f(1) *x. Для таких выпуклых функций вроде ортогональную выпуклую построить уже нельзя

stm8853410

Ок. Пусть f(x) = x^2 - x. Она выпуклая и принимает ноль на концах отрезка.
Рассмотрим g(x) = x^2 + с
Если c = -100, g всюду отрицательна и интеграл fg больше нуля.
Если c = 100, то интеграл меньше нуля.
Значит, есть такое c, что функции f и g ортогональны.

naami_moloko

 
Думаю, ответ три. Пример просто нарисовать можно, а оценку умею делать то ли на пять, то ли на шесть, пока не понял.
Если добавить к трём упомянутым x^2-x+1/6, то уже 4. Без условия выпуклости на многочленах сколько угодно можно построить ортогональных (следующая x^3 - 3/2*x^2 + 3/5*x - 1/20 и т.д. а вот сколько из них будут выпуклыми — не знаю :o

griz_a

Возможно Ваня функцию 0 потерял, она в этом списке белая ворона

stm8853410

Все остальные будут невыпуклыми
если полиномы в системе ортогональны и полином с номером i имеет степень i, то у него на отрезке должно быть i разных корней. А у выпуклой функции корней не более двух.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: