[урчп] Помогите с оценками производных, пожалуйста

tester1

[math]    Пусть при каждом $i=1,\dots,n$ и $j=1,\dots,n$  даны функции $a^{ij}\colon\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, $b^{i}\colon\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, $c\colon\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, принадлежащие классу $C^\infty_b(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$  всех ограниченных вещественных функций на $\mathbb{R}^n$, имеющих ограниченные производные всех порядков. Определим дифференциальный оператор $L$ равенством[/math]
[math]  $$(Lux)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na^{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}u(x) + \sum_{i=1}^nb^i(x)\frac{\partial}{\partial x_i}u(x)+c(x)u(x).$$ [/math]
[math]Пусть существует такая константа $\varkappa>0$, что при всех $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)\in\mathbb{R}^n$ и всех $x\in\mathbb{R}^n$  выполняется условие эллиптичности:  $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na^{ij}(x)\xi_i\xi_j\geq\varkappa\|\xi\|^2.$ Пусть также $c(x)\leq 0$ при всех $x\in\mathbb{R}^n$.[/math]
[math]Пусть фиксирована произвольная константа $\lambda>0$.  [/math]
[math]Пусть функция $\psi\in C^\infty_b(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ фиксирована, и $f$ --- решение (оно существует и единственно в классе $C^\infty_b(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$) уравнения $$Lf-\lambda f=\psi.$$[/math]
[math]ВОПРОС: Какие существуют оценки на равномерные нормы производных функции $f$, т.е. на  $\sup_{x\in\mathbb{R}^n}|\nabla f(x)|$ и $\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\left|\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j} f(x)\right|?$ Оценивать можно через $\lambda$ и любые производные функции $\psi.$ Также в оценку можно ввести супремумы модулей коэффициентов оператора $L$, но не их производные. [/math]
 [math]Я знаю, например, что $\|Lf-\lambda f\|\geq \|f\|$, поэтому в силу уравнения $\|f\|\leq \|\psi\|$. Хочется каким-то образом оценить первую и вторую производную функции $f$. Идеально будет, если сразу будете писать книгу, в которой доказана соответствующая оценка. [/math]

tester1

Друзья, ну наверняка стандартная же вещь, неужели никто не знает?

bars70

ну наверняка стандартная же вещь
да, наверняка..

tester1

Мне нужны оценки на первую и вторую производную решения через коэффициенты дифференциального оператора и правую часть (причем желательно именно через супремумы самих коэффициентов, а не через производные коэффициентов. Производные правой части в оценку включить можно). Одного лишь факта, что производные решения ограничены, мне недостаточно, нужен явный вид ограничивающих констант. Это связано с тем, что я рассматриваю последовательность решений, когда коэффициенты оператора сами образуют последовательность, и нужна равномерная оценка.

tester1

Ребят, ну кто-нибудь?...

tester1

Книги Крылова и Гилбарга, Трудингера смотрел, но там оценки в пространствах Гельдера, а мне нужны оценки на производные целого порядка.

Irina_Afanaseva

вышла новая книжка, даже две, соавторы обеих —кто-то молодой и пожилой Свешников, что-то о нелинейном функане в названии но реально о параболических уравнениях и эллиптических операторах, в Аргументе в ГЗ

tester1

Гляну, спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: