Неполное кубическое уравнение без кардано

Komandor

может кто предложит какой-нибудь вариант решения уравнения
[math]$x^3 - (1+\sqrt5)x+3(\sqrt5-2) = 0$[/math]

Damrad

исходя из
http://www2.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3-%281%2B5%5E0.5%2...
осмелюсь предположить,что никто ничего хорошего не предложит

Komandor

да я то тож численно изучил полиномчик но вот вроде школьникам такое где-то давали..

Damrad

вольфрам бы разложил на множители, если было б возможно.
я проверил одиночные инверсии всех знаков +/- там тоже ничего хорошего не светит. остается ошибка в цифре. или в степени

Damrad

остается ошибка в цифре
если вместо "1" взять "7", то "решается": (корень х=3)
http://www2.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3-%287%2B5%5E0.5%2...

BSCurt

вольфрам бы разложил на множители, если было б возможно.
Но оно же разрешимо в радикалах, значит что-то не то с вольфрамом.

incwizitor

неполное кубич уравнение
в данном случае под неполным понимается пропуск некоторых членов в левой части уравнения :grin:

Vlad128

вообще от x^2 легко избавиться сдвигом, поэтому эта неполнота тривиальна и ничего особенного не дает :)

incwizitor

эта неполнота тривиальна и ничего особенного не дает
она дает другие корни :p

lenmas

Может, такие хинты помогут:
умножим на sqrt(5)+2 все
[math]  $$  (\sqrt5+2)x^3-(7+3\sqrt5)x+3=0.  $$  [/math]
Здесь можно заметить, что после умножения на 2, число 7+3sqrt(5) становится полным квадратом
[math]  $$  2(\sqrt5+2)x^3-(3+\sqrt5)^2x+6=0  $$  [/math]
Ну и последнее, что можно заметить, это то, что
[math]  $$  (\sqrt5+1)^3=8(\sqrt5+2)  $$  [/math]
что можно было бы тоже наверное как-то использовать.
Еще надо иметь в виду, что 3+sqrt(5) после умножения на 2 есть квадрат sqrt(5)+1.
То-есть после умножения на 4 последнего уравнения все коэффициенты при степенях переменной
становятся степенями sqrt(5)+1.

lenmas

Только это переливание из пустого в порожнее. В итоге все все равно сводится к исходному уравнению :grin:

Komandor

спасибо я уж с сопряженностями тоже повозился так ни к чему и непришел :o

lenmas

спасибо я уж с сопряженностями тоже повозился так ни к чему и непришел :o
Ну там, если решать школьными методами, по Ткачуку, то все равно в некоторый момент утыкаешься
в корень из отрицательного числа, то-есть к комплексным числам, из которых еще корень кубический
надо извлекать. Так-то все понятно, но школьнику это все впаривать ... :crazy:
По Ткачуку надо делать замену x=sqrt(sqrt(5)+1)t
[math]  $$  t^3-t+24(\sqrt5+1)^{-9/2}=0  $$  [/math]
потом t=s/sqrt(3 чтобы привести к виду
[math]  $$  s^3-3s+72\sqrt3(\sqrt5+1)^{-9/2}=0,  $$  [/math]
после чего s=alpha+1/alpha
[math]  $$  \alpha^3+\frac1{\alpha^3}+72\sqrt3(\sqrt5+1)^{-9/2}=0  $$  [/math]
У этого квадратного уравнения относительно alpha^3 дискриминант меньше нуля. Хотя корни конечно выписываются.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: