Распределение Лапласа сумма независимых величин

Julia080682

Какое распределение имеет сумма независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих распределение Лапласа с параметром сдвига 0, масштаба - сигма?
Помогите, please!

griz_a

Напомни плотность Лапласа..Я ее знаю под другим названием, все время забываю каким %)

Julia080682

\frac{1}{2\sigma}exp{-\frac{|u|}{\sigma}}, \sigma>0

griz_a

По-моему, тебе уже считали сумму экспоненциальных. Если нет, то поищи, по-моему было где-то.
Так вот, Лаплас это, насколько я понимаю, с вер-ью 1/2 +экспоненциальное, 1/2 - (-экспоненциальное
поэтому
P(S_{n]<=x)=sum{k=0..n} F_{k,n-k} (x)*C^{k}_{n}/2^n
где F_{i,j}(x) - функция распределения разности суммы i экспоненциальных и j экспоненциальных, которая считается просто, зная функции распределения суммы экспоненциальных

Julia080682

Можешь поподробнее?
Мне вообще надо по нему подобрать центральную функцию какую-нибудь. У тебя получится указать её?

griz_a

Снова разная терминология, что есть центральная функция?
Я не помню распределение суммы экспоненциальных, подозреваю, что p_n(x)=C*x^(n-1)*exp(-x). Посмотри, плз, так ли это.
Тогда считаешь свертку двух таких штук, только для разности
p1_{i,j}(v)=int_{R}(du*p_j(u)*p_i(u+v
Далее F1_{i,j}(x)=int_{-inf,x} (p1_{i,j} (v)dv)
G(x)=sum_{k=0..n} (C^{k}_{n}*2^{-n}*F1_{k,n-k} (x

Julia080682

У меня есть n величин, распределённых по Лапласу. Надо организовать из них функцию, распределение которой не зависит от сигма. Например, как-либо нормировать ту же сумму. Как - вот вопрос.

oksanapopik

Снова разная терминология, что есть центральная функция?
Центральная функция всегда была фукцией от данной случайной величины, распределение которой не зависит от параметров случ.величины.

plugotarenko

Центральная статистика, например,
\sigma (X_1+...+X_n)/(sqrt(2n
Ее распределение не зависит от \sigma и стремится к N(0,1) при n стремящеся к бесконечности.
Если цель --- построить доверительный интервал для сигма, то этого должно хватить.

Julia080682

Да, мне нужно построить доверительный интервал, но, боюсь, не асимптотический. У тебя есть соображения о том, что ещё можно предпринять? Распределение суммы двух я посчитала - дальше там будет просто крокодил какой-то.

Julia080682

Хотя нет, мне только верхнюю гамма-доверительную границу...... Но это вроде не намного лучше.....

plugotarenko

Попробуй тогда так
\sigma(|X_1|+...+|X_n|)/sqrt(n)
|X| распределен экспоненциальным образом, а сумма экспоненциальных --- это гамма распределение. (про это уже был тред)

plugotarenko

только, конечно, не \sigma(|X_1|+...+|X_n|)/sqrt(n а
[\sigma(|X_1|+...+|X_n| )-n]/sqrt(n)

griz_a

Да, тогда так, конечно, проще

griz_a

Только у нее же масштабированные величины, так что такая штука как раз пропорциональна sigma, разве нет?

griz_a

Зачем тебе вообще распределение суммы?

Julia080682

Да это самое простое, распределение чего можно вычислить. Сумма или вариационный ряд.....
Как оказалось, распределение суммы никуда не годится.....

Julia080682

Да, параметр масштаба можно выносить:
LAPL(\sigma)=\sigma LAPL(1)

Julia080682

У меня сомнения по поводу распределения модуля есть. Или я ошиблась в подсчётах.( Сейчас пересчитаю. Ты уверен?

plugotarenko

Верно вот так:
LAPL(\sigma)=1/(\sigma) LAPL(1)

plugotarenko

абсолютно уверен, сравни плотности Лапласа и Экспоненциального

Julia080682

Да нет же, плотность \frac{1}{2\sigma}exp\{-\frac{|x|}{\sigma}\}. параметр без обращения выносится.
ещё не посчитала. плотности сейчас сравню. по-моему, модуль всё-таки не экспоненциальный....... у меня что-то не так в подсчётах.

griz_a

P(|laplas|<=x)=int(0,xплотности экспоненциального)*2

plugotarenko

дисперсия Лапласа 2/\sigma^2, поэтому как раз с обращением выносится.
Пусть y>0
P(EXP<y)=\int_0^y \sigma exp(-x\sigma)dx=\int_-y^y \sigma/2 exp (-|x|\sigma)dx=P(|LAPL|<y)
Что неверно?

Julia080682

Там другая параметризация. Кажется ,получается так:
\[P(\xi<y)=\int\limits_0^y\frac{1}{\sigma}e^{-\frac{x}{\sigma}}dx=\int\limits_{-y}^y\frac{1}{2\sigma}e^{-\frac{|x|}{\sigma}}dx=P(|\zeta|<y)\]

plugotarenko

Я не обратил внимание, что ты \sigma пишешь в знаменатель зачем-то.
Собственно, ты переписала мое выражение в своих терминах, все верно.

Julia080682

Это для того, чтобы параметр масштаба можно было вынести.

plugotarenko

Во всех статистиках, которые я писал, нужно тогда отправлять\sigma в знаменатель также.
Но это, надеюсь, очевидно.

Julia080682

Вроде так будет:
\[S(y)=\sum\limits_{i=1}^{n}|y_i|=|y_1|+...+|y_n|\overset{d}{=}\mathcal{G}(n,\sigma_0)\]

plugotarenko

Подтверждаю.

Julia080682

А можно ещё вопросик по матстату? Ты ведь его хорошо знаешь....

griz_a

Надо сначала задать вопрос, тогда и понятно будет, можно или нет =)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: