Задача для первого курса матана

vitamin8808

пусть f дифференцируема и
f(x^2)^2= \int_2^{x^2} f(t)dt.(интеграл от 2 до x^2 от f(t)dt)
Найти f.
После дифференцирования получается такое уравнение :
f(xf'(x)-1/2)=0 для x>0
Как проще всего доказать, что либо f=0 всюду либо f'(x)=1/2 всюду ?
Надо доказать так, чтобы моим лоботрясам было понятно, в доказательствах они не сильны.
Вот моё док-во в pdf(на второй странице) :
Ничего попроще нельзя придумать ? Например, как-нибудь коротко доказать, что f монотонна.
PS исправил очепятку — интеграл от 2 до x^2

griz_a

Что-то я не вполне понял твое доказательство. Почему f'(c)=1/2, она же не непрерывно-дифференцируема?

griz_a

Сообщение удалил

vitamin8808

>> Чем функции типа 0 на отрезке, 1/2x дальше не подходят в твое уравнение?
А подумать ? Она же не дифференцируемая.
>> Что-то я не вполне понял твое доказательство. Почему f'(c)=1/2, она же не
>> непрерывно-дифференцируема?
односторонняя производная=1/2. так как дифференцируема, то и производная=1/2, но я явно не говорил
про односторонние производные(не уверен, были ли они у них уже просто написал односторонние пределы.
Проблема в том, что если в уравнении f(xf'(x)-1/2)=0 заменить 1/2 на какую-нибудь нехорошую функцию g, то можно построить пример, когда на нигде не плотном множестве f=0(полож. меры даже! а на интервалах f'(x)=g(x причём функция будет везде дифф и производная конечна. Пример есть в Натансоне. В Саксе, наверное, тоже есть. Так что халявить не получиться, надо строго доказывать.
Английский там корявый, на коленке сегодня написал. Только ломаем править — проверил, блин, домашку с двух групп за две недели и колок(письменный глаза болят, башка раскалывается. Единственное что хорошо, это что 34 бакса в час за проверку.

griz_a

Ну вот откуда берется первое равенство, что правый предел равен 1/2?

griz_a

А вообще так нельзя разве?
Множество f!=0 открыто.
Значит функция имеет вид 1/2x+c на интервалах и 0 на остальном множестве. Т.о. она монотонна и непрерывна, а значит бывает всего 4 вида функции, два сразу отметаются.

vitamin8808

Ну вот откуда берется первое равенство, что правый предел равен 1/2?
Так как "справа и до упора" (до с)функция просто-напросто линейна, то правый предел равен 1/2.

vitamin8808

>>А вообще так нельзя разве?
>>Множество f!=0 открыто.
>>Значит функция имеет вид 1/2x+c на интервалах и 0 на остальном множестве. Т.о. она монотонна и
>>непрерывна, а значит бывает всего 4 вида функции, два сразу отметаются.
насчёт открытости лучше не заикаться, структуру открытых множеств они не изучали(курс для физфака, компутерсаенс и отстоя матфака )
А вот насчёт "Т.о. она монотонна и непрерывна, а значит бывает всего 4 вида функции, два сразу отметаются. " идея здравая, только пока не пойму, как бы это строго записать, пойду спать(у нас 4 утра может завтра соображу.

griz_a

Ну вот тебе вроде строго:
ПУсть x1>0
а) f(x1)!=0 => f'(x1)=1/2>0
б) f(x1)=0
Тогда пусть f'(x1)<0
Тогда x>x1, x in U(x1 f(x)<0
Но любого такого x f'(x)=1/2,
Т.е. функция на U(x1) and {x>x1} линейна 1/2x, что противоречит с f'<0. Значит функция монотонна. Раз монотонна, то если она два раза принимает значение 0, то между ними она всюду 0. Следовательно, есть 4 варианта
a) sup {x: f(x)=0}=+inf, inf {x: f(x)=0}=a>0
Тогда функция на (a,inf) равна нулю, ранее линейна, противоречие с дифференцируемостью в a
б) sup {x: f(x)=0}=+inf, inf {x: f(x)=0}=0
Тогда она тождественный 0
в) 0<sup {x: f(x)=0}=b<inf
Тогда функция недифференцируема в точке b, т.к. на интервале справа она 0, а слева линейна 1/2x
г) множество {x: f(x)=0} пусто. Тогда функция f'(x)=1/2

griz_a

На самом деле, она даже 1/2x или 0, т.к. из интегрального уравнения в нуле она 0 =)

vitamin8808

имхо твоё лекарство хуже болезни
Переписал вот так(jpg->pdf) :

iri3955

А разве (x - a + |x - a|)/4, a > 0, не будет решением?

vitamin8808

>> А разве (x - a + |x - a|)/4, a > 0, не будет решением?
a) чукча не читатель ? вроде разобрались уже с этим парой постов выше.
б) сразу видно, что ты мне колок не сдавал. И не сдал бы

stm5345716

А не проще сразу в функциональное уравнение подставить вместо $x^2$ $x\geqslant0$, а уже потом дифференцировать.

vitamin8808

проще, но там на пять копеек разницы.

iri3955

> a) чукча не читатель ? вроде разобрались уже с этим парой постов выше.
вопрос был про конкретный пост, а не про тред...
> б) сразу видно, что ты мне колок не сдавал. И не сдал бы
Ещё как, с такой-то постановкой задачи, учитывая, что ответ (прдеположительный) был дан неправильный,
а условие совершенно непонятно зачем изменилось (решение-то не поменяется). Я бы вообще побоялся
колок сдавать....

griz_a

вопрос был про конкретный пост, а не про тред...

Если ты имел ввиду, где я рассмотрел такой вариант в решении - то пункт б или в, кажется, где противоречие с дифференцируемостью.

iri3955

Да не, это-то всё нормально.... менч смутило:
> На самом деле, она даже 1/2x или 0, т.к. из интегрального уравнения в нуле она 0 =)

griz_a

не понял Мы решили, что она либо линейная с наклоном 1/2, либо 0, и проходит через 0 в 0, значит либо x/2, либо 0

iri3955

Оппа! А что значит диффиренцируема? Меня смутила фраза: она же не непрерывно-дифференцируема...

vitamin8808

я вот тут
рассказал и про эту задачку что я думаю
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: