Можно ли вводить всю математику через '1' и '+'?

antcatt77

Можно ли вводить всю математику, опираясь только на существование 1 и + ?
Будет ли это достаточно формально?
или есть какие-то подводные камни?
Алгоритм вывода, примерно, следующий:
берем 1 + 1 получаем "что-то", убеждаемся что это "что-то" - хорошее (не противоречит остальному, обладает интересными свойствами) - обзываем это 2
так выводим все положительные целые числа
далее вводим операцию минус, как обратную +
вводим 0 и отрицательные целые числа - как получившиеся после применения операции минус между положительными целыми числами
далее вводим операцию умножить - как красивую свертку операции +
вводим обратную операцию разделить
получаем дробные числа, бесконечность, неопределенность
вводим операцию возведение в степень - как красивую свертку операции *
обратная операция - корень
трансцедентные числа
комплексные числа
т.е. на каждом шаге - получаем что-то новое, убеждаемся что это "что-то" - хорошее (не противоречит остальному, обладает интересными свойствами даем этому "что-то" - название и обозначение, исследуем свойства этого "что-то".
на сколько я понимаю, математике примерно так и развивалась.
но сейчас интересует формальная сторона этого действия.

ARTi

Нужны хотя бы какие-то законы, как то: коммутативный, дистрибутивный и т.д.
Но ВСЮ МАТЕМАТИКУ ты все равно не получишь: ботай теорему Геделя

antcatt77

> Нужны хотя бы какие-то законы, как то: коммутативный, дистрибутивный и т.д.
но законы же можно также доказать
> Но ВСЮ МАТЕМАТИКУ ты все равно не получишь: ботай теорему Геделя
хрен, со всей. пусть будет - существенную часть математики.

angel_18

Насколько я знаю, даже понятие натурального числа не является основным, а определяется с помощью теории множеств.
Кроме того, для самого построения математики нужна непротиворечивая теория доказательств, которую так вряд ли введешь.

angel_18

Имеет смысл вводить не "всю" или "существенную часть", а аксиоматику. А она не делится -- не ввел только одну аксиому -- математику не построишь.

antcatt77

Можно зайти с другой стороны:
допустим у нас уже есть логический аппарат (тот аппарат, который обеспечиваеть доказательства и мы хотим построить теорию чисел.
достаточно ли нам будет, в качестве аксиом, существование "1" и "+"?

ARTi

> Нужны хотя бы какие-то законы, как то: коммутативный, дистрибутивный и т.д.
но законы же можно также доказать
Имелись ввиду аксиомы.
Если их нет, откуда тебе знать, что, например, 1+(1+1)=(1+1)+1

antcatt77

т.е. хочешь сказать, что каждый переход (каждый шаг) в алгоритме из исходного поста - фактически вводит какие-то аксиомы, на которые дальше этот шаг и опирается?
я правильно понял?

angel_18

Думаю, нет. Уже понятие рационального числа требует введения понятия фактормножества -- то есть построения всей (я уверен, что частичность здесь не пройдет) теории множеств; а понятие натурального числа как раз в ней и вводится, примерно так: число "5" -- это мощность множества, содержащего 5 элементов. Получится какой-то порочный круг.

976evil

Таким способом можно вывести только очень небольшую часть математики. Нужны более сильные системы аксиом, например ZF. Скорее всего потребуется аксиома выбора.
Хороший пример - http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein's_theorem

976evil

> хрен, со всей. пусть будет - существенную часть математики.
Только очень-очень несущественную. Даже анализ не построить - нужна AC.

Xephon

Если этот подход более-менее научно развить, то получится так называемый "конструктивизм". Им занимался, например, Андрей Андреевич Марков, известный советский логик, алгебраист и тополог.
Всей математики, конечно, не построишь. Например, даже в арифметике, чтобы доказать некоторые вещи, нужна индукция и придется принять для нее соотвествующую аксиому, которая от остальных является независимой. Ну про аксиому выбора уже говорили...

zuzaka

тред нечетал, если повторяюсь - не бейте.
в первой же конструктивной строчке ты испольузешь понятия "существует", "свойства", "=". Более того, ты уже считаешь, что "=" - вещь постоянная, что а=а. Согласись, это уже гораздо больше, чем два положения.
А вообще, советую почитать Гильберта с соавтором, которого я не помню, "Основания математики".

Barmaglot

Есть суперкнига.
Феферман “Числовые системы”.
Она быстро наведет порядок в мыслях по этому поводу.
Там последовательно показывается как возникали числовые системы, начиная от натуральных, замыканием относительно каких операций, те из каких естественных нужд они появились.
Правда на мм после официального введения натурального ряда (аксиомы Пеано) говорится:
А лучше давайте считать, что натуральные числа даны Богом

После этого строятся действительные числа и анализ.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: