Школьная задачка по математике

denis24

Формулировка такая: за круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стоит кружка, в которую налито некоторое количество молока. Во всех кружках вместе находится 3 литра молока. Первый гном берёт свою кружку и разливает молоко из неё поровну во все остальные кружки. Затем это делает второй гном, и т.д. После того как эту операцию проделает седьмой гном, у каждого в кружке оказывается ровно столько молока, сколько было исходно. Вопрос: сколько молока у каждого гнома в кружке?
У седьмого, понятно молока нет, т.к. после его хода у него молока не осталось. А как рассуждать, чтобы узнать, сколько молока у остальных?

Vlad128

ну седьмому за круг налили 3литра /6 он их разливает все поровну. При этом (в том числе и) предыдущему нальет 1/6 часть этого, а он ведь перед этим тоже все разлил остальным. Вот и определили, сколько будет у шестого. Далее суммируем такие дроби в обратном порядке.

seregaohota

ну у 6-го 1/6 от того объёма, который был у 7го перед его ходом, т.к. 6й всё своё разлил перед этим, далее по индукции
А вообще можно написать уравнения, пусть x1,..,x7 сколько у кого было вначале
После первого хода
x1'=0
x2'=x2+x1/6
...
x7'=x7+x1/6
После второго хода
x1'=x2/6 + x1/6^2
x2'=0
...
x7'=x7+x1/6 + x2/6 + x1/6^2
и т.д. В матрицах если записать вообще просто будет :)
Наверно есть какой-то простой логичный ответ, некогда сейчас

iri3955

Можно показать, что каждое переливание - сдвиг по кругу. Дальше просто посчитать, что там арифметическая прогрессия.
Кажется...

iri3955

А доказать это можно из единственности ) Не очень по-школьному.
А можно так. Разность между любыми гномами меняется только если переливают они. Причём меняется на 5/6 от того, кто переливал
Так как в конце она одинакова, то у всех перед выливанием было одинаково. А значит там арифметическая прогрессия.

denis24

Я туплю, ты можешь ещё раз объяснить, почему должна быть арифметическая прогрессия?

iri3955

У всех гномов перед их переливанием было одинаковое количество воды - x.
Тогда у следующего на этот момент - 5/6 x (так как ему выльется x/6 и должно стать x).
Значит разность у них - x/6. А так как эта разность постоянна (кроме моментов переливаний то изначально разность
между i-м и i+1-м - x/6, то есть арифметическая прогрессия. Значит у первого 6/6x, у второго 5/6x, ..., у седьмого 0/6х.
итого 3,5x = 3, x = 6/7, значит распределние - (6/7, 5/7, ..., 0/7)

denis24

Я опять туплю. Почему у всех гномов перед переливанием было одинаковое количество воды?

Vlad128

не знаю, что там как, но ответ неправильный у него. У шестого всяко будет 1/12 литра. Это следует из железной логики моего поста, за который поставили минус.

iri3955

Нет, это неправильно. Ему достанется не только 1/6 всего молока, но и то, что перельют ему из уже им долитого. То есть от первого
ему достанется 1/6 + 1/36 (та часть молока первого, которую разделил между остальными второй) + 1/216 + ...

iri3955

> Почему у всех гномов перед переливанием было одинаковое количество воды?
Смотри. Возьмём двух гномов i и j и будем следить за разностью между их кружками.
Они меняется 2 раза. 1 раз, когда выливает i-й гном (ai литров) и второй - когда j-й (aj литров).
Все остальные переливания им достаётся одинаково, поэтому разность не меняется.
В i-e переливание у i-го гнома кол-во уменьшилось на ai (c a1 до 0 а у j-го - увеличилось на ai/6.
то есть разность уменьшилась на 7/6ai (да, ошибся в первом посте не на 5/6, а на 7/6).
В j-е переливание - увеличилось на 7/6aj.
В итоге за полный круг уменьшилось на 7/6ai - 7/6aj. Но по условию, это 0, значит ai = aj.
То есть у всех гномов перед вливанием было одно и то же количество молока

Vlad128

А, блин, вот я тупой

denis24

Сообщение удалил
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: