метрика согласованная со скал произведением

st85

метрика f(x,y) = |x-y|. Существует ли скалярное произведение согласованное с этой метрикой?

elektronik

Кажется, для того, чтобы существовало, нужно, чтобы было выполнено равенство параллелограмма:
(x - y, x - y) + (x + y, x + y) = 2x, x) + (y, y
А точнее, |x - y|^2 + |x + y|^2 = 2 (|x|^2 + |y|^2).

st85

не чёт не то, есть пространство с этой метрикой, равенство паралелограмма выполняется не для всех точек.

Alexx13

Существует. Возьмём числовую прямую. Она есть векторное пространство над собой. Положим (x,y)=xy. Это скалярное произведение индуцирует метрику f(x,y)=||x-y||=|x-y|

elektronik

Ну смотрите, если у нас есть линейное пространство, и на нём задано скалярное произведение, то:
(x - y, x - y) = (x, x) + (y, y) - 2 (x, y)
(x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) + 2(x, y)
То есть выполняется правило параллелограмма. Если на этом же пространстве есть метрика, согласованная со скалярным произведением (ρ(x, y) = \sqrt {(x - y, x - y)} то выполнено следующее равенство:
ρ^2(x, y) + ρ^2(x, - y) = ρ^2(x, 0) + ρ^2(0, y)
Обратно. Если есть метрическое пространство, и мы хотим узнать, существует ли скалярное произведение такое, что метрика будет с ним согласована.
Если последнее равенство выполняется не для любых x, y, то не существует.

elektronik

Да, кстати. В моих обозначениях (и моём понимании) |x - y| -- это норма. Может, под этим вы имели ввиду модуль?! Тогда стоит уточнить, что такое x и y...
ЗЫ надо было вам спрашивать это в study.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: