Точки на n-сфере

Ch_tuyara

как такое может быть:
The n vertices of a regular simplex of dimension n-1, of edge length 1, lie on an (n-2)-sphere in R^(n-1)
Интересует именно то,как они все могут там лежать? толи я чего-то не понимаю,толи тут какая-то фигня

electricbird

для n=3 порядок. не вижу причин, чтобы для больших испортилось

Rumata

Примеры: вершины правильного треугольника на окружности в плоскости; вершины тетраэдра на 2-мерной сфере в R^3.

incwizitor

чо такое симплекс? одна вершина в нуле
остальные вдоль координатных линий на расстоянии 1.. n-1 штука этих остальных вершин
чо такое сфера?
множество точек, удаленных от нуля на расстоянии 1
ну и вершины симплекса на расстоянии 1 от нуля
все происходит в пространстве R^(n-1)
значит все вершины симплекса, кроме той, которая в нуле, находятся на этой сфере
сфера при этом в этом пространстве будет иметь размерность (n-2)-sphere

Ch_tuyara

все понятно,значит,я неправильно понимала определение n- сферы(n относится не к размерности? то есть почему, например, в R^3 точки на расстоянии 1 от начала координат называются 2-сфера? а не 3?
и что такое тогда 1-сфера? окружность на плоскости?

Rumata

Обратите внимание, что радиус сферы не задан. Расмотрим правильный симплекс, поместим начало координат в его барицентр, тогда все вершины симплекса окажутся лежащими на некоторой сфере с центром в начале координат.

elektronik

n как раз относится к размерности, но не пространства самого, а самой сферы (как поверхности)
да, 1-сфера- это окружность

incwizitor

-сфера-окружность на плоскости
сфера в пространстве R^n
определяется, как множество точек, таких что:
x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=1
ранг этой системы уравнений равен 1 (если подифференцируем, как мы это делали для якобианчиков)
поэтому размерность многообразия, которая определяется формулой n-rank J,
будет равна n-1 для сферы
поэтому и называют (n-1) sphere ибо это размерность самой поверхности, а не пространства, в которое она вложена
2-сфера-это глобус )

Rumata

что такое тогда 1-сфера? окружность на плоскости?
верно
почему, например, в R^3 точки на расстоянии 1 от начала координат называются 2-сфера?
грубо говоря, в достаточно малой окрестности на такой сфере точка однозначно задается 2-мя локальными координатами (например "долготой" и "широтой" на глобусе, если точка -- не полюс поэтому она и является двумерной поверхностью.

incwizitor

вы бы мне лучше с теорией игр помогли ;(
вопросик в стади уже минут 10 висит ;(
у меня завтра экзамен

Ch_tuyara

Спасибо! многое прояснилось.. осталось понять почему в этом случае: As the radius of the (n-2)-sphere is sqrt( (n-1)/2n )...

incwizitor


правильно отметил, что рассматривается описанная сфера, а не та, что проходит через n-1 вершин симплекса
то есть все n вершин симплекса лежат на этой сфере
для подсчета радиуса надо воображалку включать..
это мне влом сейчас делать...другими делами занят ;(
думаю векторами все легко решается

incwizitor

ну вот метод в лоб
мона и мозги включить..гораздо легче будет
координаты центра сферы (x1,x2,....xn-1)
расстояния от центра до каждой из вершин r
координаты каждой вершины симплекса (кроме нулевой) имеют вид (0,0,0,0....,1,.....0,0)
расстония имеют вид r=sqrt(x1^2+x2^2....+(xi-1)^2+x(i+1)^2+..)
значит все координаты центра равны (ну ето неочевидно следует ну ето можно было прежположить
a=xi=xj для всех i and j from 1 to n-1
далее осталось учесть расстояние до нуля
r=sqrt(x1^2+x2^2...x(n-1)^2)
(n-2)a^2+(a-1)^2=(n-1)a^2
получаем a=1/2 (тоже мона было предположить, что центр описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника с углом 45 лежит в середине гипотенузы)
считаем r=sqrtn-1)*1/4)=0.5*sqrt(n-1)
эх...сорри, но у меня чо-то не то получилось...хотя для n=2,3 подходит )

Rumata

Рассмотрим правильный (n-1)-мерный симплекс в гиперплоскости \sum_{1\leq i\leq n}x_i=1 с вершинами в точках (1,0,...,0 (0,1,0,...,0...0,...0,1). Тогда его барицентр (центр описанной окружности) имеет координаты (1/n,...,1/n). Расстояние от произвольной вершины до центра равно \sqrt(1-1/n расстояние между вершинами есть \sqrt(2 поэтому для симплекса с ребром 1 расстояние от вершины до центра (т.е. радиус описанной окружности) есть \sqrtn-1)/2n).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: