пространство функций ограниченной вариации - банахово?

tomxays

||f||=Var f.
чтобы ||f||=0 => f=0 добавим условие, что f(0)=0.
так воот, пространство функций огр вар и в нуле равных нулю - является ли такое пространство банаховым по норме Varf?

vokus

Ну да, является вроде.
1) Если последовательность функций фундаментальна по вариации, то она сходится поточечно: [math]$|f_n(x) - f_m(x)| = |(f_n(x) - f_m(x - (f_n(0) - f_m(0| \leq Var_{[0,x]}(f_n - f_m) \to 0$[/math]
2) Вариации фундаментальной последовательности функций ограничены в совокупности какой-то С (очевидно)
3) Пусть f --- функция, к которой поточечно сходится наша последовательность. Тогда для любого разбиения T из N точек, т.к. оно конечно, найдётся некоторая функция f_T из последовательности, которая во всех точках T отличается от f менее, чем на эпсилон/2N, тогда
[math]$\sum_{i=1}^{N-1} |f(x_{i+1}) - f(x_i)| \leq \sum_{i=1}^{N-1} |f_T(x_{i+1}) - f_T(x_i)| + \varepsilon$[/math], поэтому вариация f тоже ограничена.
upd: Да, в первом пункте лажа была, сорри:)

tomxays

спасиб!
впункте 1 немного неточно, но понятно, что имелось ввиду.
да, быстро на флокале рюхают
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: