Биологические объяснения логических парадоксов

elena7614

ВСТУПЛЕНИЕ: ПРО ПАРАДОКСЫ И ЛЕНИВЫХ НЕДОУЧЕК
В последнее время появилась модная тенденция объяснять хорошо известные логические и математические парадоксы через биологию. Типа того, что в результате естественного отбора формируется мышление, приспособленное для решения практических задач, побочным эффектом которого является создание "математических сущностей", которые бессмысленны, но в некоторых случаях помогают эффективно решать практические задачи (а в некоторых приводят к парадоксам и глюкам). На самом же деле такое объяснение не имеет с действительностью ничего общего, этому и посвящается этот креатив.
Какие вообще бывают логические парадоксы? Преимущественно они делятся на 3 типа:
1) Болтологические. Пример: парадокс лжеца ("это утверждение ложно"). Смысл таких парадоксов в том, что с помощью языка строится фраза, которая каким-то образом говорит о самой себе, и ей невозможно приписать истинность или ложность (или какое-то значение). Рассматривать такие парадоксы смысла нет, потому что они связаны только с особенностями естественного языка.
2) Непривычность математических объектов. Пример: разрезание шара на несколько частей и склеивание из них двух таких же по размеру шаров. Такие парадоксы мы рассматривать не будем, потому что по сути это не парадоксы, а просто ошибки интуиции, которые легко устраняются по мере привыкания.
3) Реальные противоречия, возникающие при попытке обращаться с вымышленными объектами как с реально существующими. Примеры: несуществование множества всего, множества всех множеств, множества всех мощностей, множества всех ординалов, множества всех объектов, которые можно придумать, несуществование максимальной мощности (количества элементов) множества и так далее. Именно такие парадоксы мы и будем здесь рассматривать.
Самый простой пример подобного парадокса - парадокс Рассела. Пусть A - множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента. Для любого множества можно сказать, является ли оно элементом A или нет. Зададимся вопросом: является ли A элементом A? Если да, то по определению A не содержит себя в качестве элемента (противоречие). Если нет, то по определению A входит в A (тоже противоречие!). Т.е. получается, что никакого такого "множества всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента" существовать не может. Хотя, казалось бы, никакой проблемы быть не должно: мысленно возьмём каждое множество и положим его в кучу, если оно не содержит себя в качестве элемента.
Для отдельных дебиловнекоторых людей сам факт наличия парадокса Рассела будет подтверждением их мнения по поводу мышления: "Да, никакой математической реальности не существует! Это всё - побочный продукт деятельности мозга со всеми вытекающими.". Задумываться над решением парадокса такой человек, естественно, не будет (А зачем задумываться, если мозг в таких областях всё равно глючит?).
Кое-кто скажет, что мол парадокс Рассела - это такой же языковой парадокс, как и парадокс лжеца (да и по форме он похож - что-то там про отношение чего-то к самому себе). Хотя на самом деле ничего общего с языковыми парадоксами у парадокса Рассела нет: "парадоксальное" множество строится совершенно формально без каких-либо завязок на самого себя или на определяющее предложение.
Ещё кое-кто скажет, что стоит только записать определение парадоксального множества на формальном математическом языке (настоящем :) ) с использованием только допустимых правил (тщательно разработанных проверенными математическими авторитетами :) то сразу станет понятно, что такое определение в эти правила не вписывается. Ну это правда, конечно, только не понятно, откуда взялись эти ограничения, и почему они именно такие. Но наш тупица"специалист", конечно же, не будет об этом задумываться (А зачем? Ведь формальный математический язык уже давно разработан, успешно применяется, и претензий к нему, казалось бы, никаких нет.). Самое интересное, что большинство таких "специалистов" (в том числе математиков по образованию) понятия не имеют, что это за формальный язык и какие у него ограничения (а уж про то, откуда он взялся, и про то, что с ним, вообще говоря, связана куча проблем - от недоказанной непротиворечивости до возможностей по расширению с большой пользой даже для дискретной математики, тем более говорить не приходится).
Есть ещё отдельные лица, которые относят такие парадоксы к свойствам "дурной бесконечности", ставя их в один ряд с разрезанием и склеиванием шариков (Конечно, бесконечность же дурная, поэтому можно и не разбираться). И таких много не только среди дилетантов, но и среди математиков! Хотя, если разобраться, то становится понятно, что бесконечность здесь не причём вообще никаким местом, как и вообще какие-то конкретные свойства мощностей. Все мощности в этом смысле равноправны, и ничего "дурного" переход от конечного к бесконечному здесь не несёт. В частности, такой же парадокс Рассела наблюдается и во "вселенной из конечных объектов": множество всех множеств получается бесконечным, поэтому не лежит во вселенной (см. подробности ниже).
Все подобные способы разрешения парадоксов по своей сути описываются одной фразой: "ИЗВИНИТЕ, ГОСПОДА, Я ОБОСРАЛСЯ".
Тщательное же размышление над подобными парадоксами приводит к выводу, что никаких неразрешимых противоречий тут на самом деле нет, всё достаточно естественным путём решается. Конечно, люди способны ошибаться, и эта способность зависит от "ясности ума" (которая в свою очередь зависит от состояния мозга с этим никто не спорит. Но всё-таки люди способны достигать этой самой "ясности ума" и решать подобные парадоксы. И людям существенно мешает самовнушение о неразрешимости подобных проблем. Парадоксы требуют решений, а не отмазок!
Отметим ещё, что люди часто разбирают такие парадоксы чисто формально, как последовательность языковых предложений, приводящую к противоречию. Из-за этого должного понимания сути не получается. Поэтому имеют смысл наглядные иллюстрации подобных парадоксов (одна из них дана ниже).
ЕСТЕСТВЕННОЕ СВОЙСТВО МЫШЛЕНИЯ, КОТОРОЕ МАЛО КТО ПОНИМАЕТ
Размышление над парадоксом Рассела в конечном итоге заставит признать факт о наличии совершенно естественного, но непонятного свойства мышления: возможности создания новых сущностей. Обычный материалистически-надрессированный человек думает, что создание новых сущностей - это всего лишь создание новых комбинаций состояний нейронов (т.е. никакого создания на самом деле не существует, а существует только выбор из заранее существующего набора всех возможных комбинаций). В реальности же вымышленные сущности существенно отличаются от физических объектов именно тем, что можно их создавать, причём это "творение" никаким образом не сводится к выбору из уже готового набора.
Например, можно создать в своём мышлении некоторую "вселенную вымышленных объектов", после чего уже сформулировать для неё какие-то аксиомы и пытаться выводить из них какие-то свойства. Но можно создать и другую вселенную. Работа с объектами вымышленной вселенной - это выбор из уже готового набора, а вот создание "вселенной" - это уже совсем другое, чистый творческий акт. Никакого готового мира идей не существует!
Эта мысль многим будет настолько непривычна, что будет казаться, что она противоречит всему, чему только можно. Хотя на самом деле эта мысль естественна, как сама жизнь!
НАГЛЯДНАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ: МНОЖЕСТВО ВСЕХ МНОЖЕСТВ или ДЕРЕВО ВСЕХ ДЕРЕВЬЕВ БЕЗ БЕСКОНЕЧНЫХ ЦЕПОЧЕК
Пониманию парадоксов типа множества всех множеств мешает то, что не очень понятно, что же такое множество. Канторовское определение "множество есть многое, мыслимое как единое" не устраивает из-за того, что не понятно, что может, а что не может быть элементом множества. Вариант "ВСЁ МОЖЕТ" не устраивает, хочется чего-то более формального. Поэтому в теории множеств принято рассматривать только множества, сконструированные из пустых множеств (типа {ПУСТО,{ПУСТО}}). Такими множествами можно кодировать другие математические объекты, такие, как числа, функции, разные там пространства и так далее. Естественно, что никаких парадоксов такое "сужение" не разруливает, но зато оно позволяет дать многим парадоксам наглядную интерпретацию.
Каждое такое сконструированное из пустых множеств множество представляется в виде корневого дерева (см. википедию в котором:
1) нет бесконечных цепочек;
2) любые два поддерева, соответствующие двум разным потомкам одного и того же элемента, не изоморфны (потому что в множестве каждый элемент присутствует в одном экземпляре).
Второе свойство нас интересовать не будет, можно его игнорировать, на суть парадоксов это не повлияет.
Примеры. Пустому множеству соответствует дерево, состоящее из одной вершины, множеству {{ПУСТО},{ПУСТО,{ПУСТО,{ПУСТО}}}} соответствует дерево, изображенное на рисунке

Множеству всех множеств соответствует "дерево всех деревьев", т.е. такое дерево без бесконечных цепочек, что любое дерево без бесконечных цепочек является поддеревом, соответствующим некоторому потомку его корня:

Из картинки сразу видно противоречие: если это дерево A, то оно должно совпадать с некоторым поддеревом, соответствующим потомку корня; к этому поддереву применяем аналогичное рассуждение, получаем, что одному из потомков его корня тоже соответствует поддерево A; и так далее... бесконечная цепочка. Вот и весь парадокс.
Терерь задумаемся. Что мешает существованию такого "дерева всех деревьев без бесконечных целочек"? Что мешает мысленно взять все такие деревья и составить из них одно?
А мешает то, что деревья (и графы вообще) - это сущности, которые можно придумывать, и это придумывание не сводится к выбору из готового набора. Если мы хотим рассматривать "все возможные деревья", то мы сначала должны придумать вселенную таких деревьев, и уже в ней работать, по несчастливой случайности самой вселенной тоже можно сопоставить дерево, но оно не принадлежит этой вселенной.
Казалось бы, дерево (или граф) - это такой объект, который существует независимо от носителя, т.е., например, вершинами дерева могут быть числа, могут быть кролики, могут быть функции и так далее, суть не меняется от изменения носителя. Но на самом деле, несмотря на это, носитель должен быть (хотя бы один! без него существование данного конкретного графа не имеет смысла. И вот здесь уже проявляется в полной мере природа вымышленных сущностей: носителем может быть любая вымышленная сущность, а эти сущности можно неограниченно творить в своём мышлении. Например, если мы додумаемся, что носителями могут быть натуральные числа (т.е. вершины дерева - различные натуральные числа то получим некоторый класс деревьев, а если догадаемся, что можно использовать и последовательности натуральных чисел в качестве носителей, то получится более широкий класс деревьев. Каждая такая "догадка" - это творческий акт мышления.
ВСЕЛЕННАЯ КОНЕЧНЫХ ДЕРЕВЬЕВ: ТЕ ЖЕ ПАРАДОКСЫ, НО ЕЩЁ БОЛЕЕ НАГЛЯДНО
Как уже было сказано, подобные парадоксы можно рассматривать на примере вселенных из конечных объектов, при этом суть нисколько не теряется. Поэтому парадоксы типа Рассела не имеют никакого отношения к "дурной бесконечности".
В качестве такой вселенной можно взять совокупность всех конечных деревьев. Тут сразу видно, почему "дерево всех деревьев" в ней не лежит: оно бесконечно (счётно).
Вполне можно представить себе человека, который мыслит конечными категориями, и которому ни разу не приходила мысль, что можно все такие объекты рассматривать как единую совокупность. Такой переход к бесконечности - это уже некоторый творческий акт мышления. В этом смысле такое множество конечных деревьев ничем не хуже, чем "множество всех множеств".

karim

гарфилд какбы считает что ты дибил =)

user6705

продолжай

vsjshnikova

Эта простыня обязательно нужна для того, чтобы сказать, что утверждение о существовании множества всех множеств ("Существует множество U, содержащее все можества" (в том числе U противоречит аксиоме фундирования (в данном случае более слабому следствию из нее "не существует множеств, содержащих себя в качестве элемента")?
По-моему, достаточно написать эти два утверждения рядом, чтобы стало понятно, что они несовместимы между собой.
К слову, в тех "формальных системах", о которых упоминает автор, аксиома фундирования рассматривается скорее как вспомогательная, и снятие запрета на бесконечные цепочки не приведет в данном случае к разрешению парадокса.

elena7614

Читай внимательнее.
Я не ставил цель вывести из ZFC несуществование множества всех множеств.
Целью той части "простыни", про которую ты пишишь, было дать наглядную иллюстрацию, и какие-то там аксиомы здесь вообще не причём. От того, что ты знаешь, как формально выводится какое-то там противоречие, толку для понимания немного.

elena7614

Продолжение будет в .

demiurg

Проблемы с пониманием эти, видимо, твои личные. Ну что ж, если тебе для этого понимания нужно обязательно катать простыни и постить их в Зоне — пожалуйста. А нам похуй.

leshij76

уж лучше читать Рассела, чем "это"

elena7614

Какие проблемы?
Ты хоть прочитал, что написано?

vsjshnikova

Суть твоей простыни можно описать двумя предложениями, которые сразу понятны всем:
1. Примем за аксиому, что любое множество не содержит самого себя в качестве элемента (это твое правило 1) построения деревьев)
2. Очевидно, что в этом случае множества всех множеств не существует.
При этом ты вводишь эту аксиому очень неявно, несмотря на то, что она, на самом-то деле, не так уж и интуитивна. Ты заменяешь идейное доказательство парадокса через теорему Кантора, которое действительно дает понимание, почему теория множеств "ломается", на неинтуитивную и, по большому счету, необязательную в данном случае аксиому фундирования
При этом ты правильно ставишь акцент на том, что суть парадокса в возможности образования новых множеств из совокупности, правильно ставишь аналогию между образованием бесконечного множества из конечных и образлования класса всех множеств, но не говоришь, что так же, что по аналогии с бесконечным множеством, которое является более "высокой" абстракцией, чем конечное множество, можно ввести понятие класса, которое "выше" понятия множества вообще. Раз уж начал, иди до конца.

chepa02

ты пишешь не уважая читателя
скажи спасибо , что он это прочитал целиком

elena7614

ты пишешь не уважая читателя
Почему? Где я проявил неуважение?

elena7614

Суть твоей простыни можно описать двумя предложениями, которые сразу понятны всем:1. Примем за аксиому, что любое множество не содержит самого себя в качестве элемента (это твое правило 1) построения деревьев)2. Очевидно, что в этом случае множества всех множеств не существует.
Во-первых, обрати внимание, что твоя "суть" относится не ко всей простыне, а к её части "наглядная иллюстрация...". И суть выявлена неверно. Парадокс "множества всех множеств" был выбран всего лишь в качестве примера, при этом я просто заранее определил множества как фундированные. При этом я никаких аксиом не выписывал, а просто сказал, что для меня множество - это дерево. Лучше, наверное, было сразу рассматривать парадокс "дерева всех фундированных деревьев". Видимо, я запутал читателя тем, что связал это с множеством всех множеств.
Во-вторых, формальный вывод противоречия - это, конечно, хорошо, но для понимания он даёт мало. Иными словами, человек может легко понять вывод, но стоит чуть-чуть изменить условие задачи, как у "понявшего" сразу же возникнут трудности. Наглядная иллюстрация, на мой взгляд, лучше.
При этом ты вводишь эту аксиому очень неявно, несмотря на то, что она, на самом-то деле, не так уж и интуитивна. Ты заменяешь идейное доказательство парадокса через теорему Кантора, которое действительно дает понимание, почему теория множеств "ломается", на неинтуитивную и, по большому счету, необязательную в данном случае аксиому фундирования
Опять же, я не ввожу никаких аксиом как явно, так и неявно. Просто я сразу сказал, что меня интересуют только фундированные множества, да ещё и не содержащие ничего кроме множеств в качестве элементов.
Если уж очень хочется формализации, но аксиома фундирования не нравится, то всегда можно воспользоваться схемой выделения и ограничиться только такими множествами.
Теорема Кантора - это 2^x>x что ли? Лично я не считаю её доказательство (диагональное) наглядным. Многим оно покажется просто логическим фокусом.
При этом ты правильно ставишь акцент на том, что суть парадокса в возможности образования новых множеств из совокупности, правильно ставишь аналогию между образованием бесконечного множества из конечных и образлования класса всех множеств, но не говоришь, что так же, что по аналогии с бесконечным множеством, которое является более "высокой" абстракцией, чем конечное множество, можно ввести понятие класса, которое "выше" понятия множества вообще. Раз уж начал, иди до конца.
Не вижу ничего общего между соотношением бесконечное множество-конечное и соотношением класс-множество. Класс - это вообще высосанная из пальца абстракция NBG, которая нужна по-моему только лишь для того, чтобы формализовывать такие понятия, как ординал, кардинал и т.п. и формулировать теоремы о них похожим образом на то, как это делается в естественном языке (без классов приходится извращаться).
Если уж хочется каких-то высоких абстракций, то лучше уж рассматривать большие кардиналы (недостижимые и т.п.). Про них я ещё напишу. Следите за свежими выпусками :)

chepa02

ремарки про тупиц нормального человека не слишком веселят, а скорее раздражают, как признак детсадовости автора
не говоря уже о категоричности фраз в стиле "а на самом деле", которые тоже означают неуважение к читателю, потому что ты не собираешься обсуждать, а будешь только учить
определись с целями - для чего ты пишешь такие тексты?
если ты пишешь человеку, который все и так знает - то зачем пишешь?
если пишешь для того, чтобы рассказать кому-то не знающему - зачем хамишь?

vsjshnikova

Теорема Кантора - это 2^x>x что ли? Лично я не считаю её доказательство (диагональное) наглядным. Многим оно покажется просто логическим фокусом.
ИМХО, без понимания этой фишки суть множеств понять нельзя. Диагональ изменила мир, нравится тебе это или нет.
Не вижу ничего общего между соотношением бесконечное множество-конечное и соотношением класс-множество. Класс - это вообще высосанная из пальца абстракция NBG, которая нужна по-моему только лишь для того, чтобы формализовывать такие понятия, как ординал, кардинал и т.п. и формулировать теоремы о них похожим образом на то, как это делается в естественном языке (без классов приходится извращаться).

Ты сам проводишь аналогию между своей совокупностью всех фундированных деревьев и совокупностью конечных деревьев. На мой взгляд, естественно пояснить, чем похожи и чем отличаются бесконечное множество, получающееся из конечных, и собственный класс, получающийся из множеств.

elena7614

Хорошо, учту.

elena7614

ИМХО, без понимания этой фишки суть множеств понять нельзя. Диагональ изменила мир, нравится тебе это или нет.
Возможно, но диагональ - это всего лишь метод доказательства. Моё мнение, что ещё более важно понимать то, что я в первом посте назвал "естественное свойство мышления, которое мало кто понимает".

vsjshnikova

Возможно, но диагональ - это всего лишь метод доказательства. Моё мнение, что ещё более важно понимать то, что я в первом посте назвал "естественное свойство мышления, которое мало кто понимает".
Это философия, а с ней всегда можно поспорить. Если стоять на позиции непримиримого конструктивизма и строить все из палочек...

svetik5623190

ВСТУПЛЕНИЕ: ПРО ПАРАДОКСЫ И ЛЕНИВЫХ НЕДОУЧЕК
Дочитал до середины, потом бросил, т.к. не нашёл для себя ничего нового или интересного, а рабочий день сегодня был трудный и ещё не кончился. Стиль автора мне не понравился, отдаёт желтизной. Может, такое длинное вступление не нужно?
Вообще, на кого ориентирован пост?
Если можно, сделай плиз краткую выжимку для специалистов и помести её в начало первого поста, спасибо.

elena7614

Если можно, сделай плиз краткую выжимку для специалистов и помести её в начало первого поста, спасибо.
Специалисту достаточно прочитать абзац про "естественное свойство мышления...". Потому что с этим у многих специалистов проблемы. Хотя это ещё смотря какой специалист...
Вообще, на кого ориентирован пост?
На всех.
Если не нашёл ничего нового, то, прочитав пост, можешь порадоваться за свою образованность.

Serg1912

Ближе
K лугy.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: