Точки самокасания множества

stm7555439

Подскажите, пожалуйста, есть ли какое-нибудь формальное название множеству трехмерного пространства, у которого есть точки самокасания.
Именно самокасания, не пересечения в общем смысле... Возможно, множество обладает определенным свойством, которое и означает, что у него есть точки самокасания...
не могу найти сей факт в литературе..

Perce

Первая ассоциация, пришедшая в голову – "non-manifold". Посмотри, может тебе подойдёт?

stm7555439

Да, похоже, на самом деле, но вопрос глубже:
Есть множество в R^3, обладающее следующими свойствами:
1. Внутренность его линейно связная
2. Граница его линейно связная
3. Множество не имеет точек самокасания и самопересечения.
Нужно доказать, что R^3 без этого множества есть линейно связное...

kachokslava

а что такое линейная связность?

stm7555439

Любые 2 точки соединяются непрерывной кривой..
это опять сарказм? :(

blackout

Любые 2 точки соединяются непрерывной кривой..
Конечной длины.

lenmas

Конечной длины.
Откуда это? Тут метризуемость вроде не при чем.

lenmas

Есть множество в R^3, обладающее следующими свойствами:
1. Внутренность его линейно связная
2. Граница его линейно связная
3. Множество не имеет точек самокасания и самопересечения.
Нужно доказать, что R^3 без этого множества есть линейно связное...
Почитай "Топологию" Куратовского, только тут удастся скорее всего показать только обычную связность, не линейную.

BSCurt

Нужно доказать, что R^3 без этого множества есть линейно связное...
Я, видимо, понимаю, как это доказать для случая когда множество достаточно хорошее (например, когда множество в R^3 представимо в виде сингулярной цепи) методами алгебраической топологии, но раз тут все предполагает таким топологическим то как-то не уверен, что доказательство проходит.

blackout

Откуда это? Тут метризуемость вроде не при чем.
В R^3 у кривой, соединяющей две точки, будет конечная длина.

lenmas

но раз тут все предполагает таким топологическим то как-то не уверен, что доказательство проходит.
Нет, есть какое-то общее топологическое утверждение, которое утверждает связность дополнения, при условии связности границы и самого множества, но я уже не помню конкретно какое. В Куратовском, помню, были какие-то общие утверждения, приводящие к нему.

lenmas

В R^3 у кривой, соединяющей две точки, будет конечная длина.
Я выключился из твоей логики рассуждений. График непрерывной функции неограниченной вариации линейно связен или нет?

blackout

Да.

lenmas

Да.
Так ее две точки нельзя соединить кривой, лежащей на графике и имеющей конечную длину.

blackout

И о каких двух точках?

iri3955

> 3. Множество не имеет точек самокасания и самопересечения.
Что такое самокасание и что такое самопересечение для множества (может, это про границу?)?
Если я правильно понял, то примером может служить замыкание дополнения до множества, состоящего ил 2х капель (сфера с конусом) с общей верщиной.
Вроде всеми свойствами обладает, но дополнение (как раз капли без границы) не связно

lenmas

И о каких двух точках?
Ну, возьми какой-нибудь y=x sin(1/x) (y(0)=0) и точки (-1, sin 1 (1,sin 1).

blackout

Ну, возьми какой-нибудь y=x sin(1/x) (y(0)=0) и точки (-1, sin 1 (1,sin 1).
Это не график, а график + точка и это множество не линейно связно.

lenmas

Ну так я функцию в нуле определил, у меня область определения R. Так что точка входит в график.

blackout

Еще раз, определенное тобой множество не линейно связно.

lenmas

Еще раз, определенное тобой множество не линейно связно.
С какого перепою. Непрерывная линия, она всегда линейно связна, разве не?

blackout

В том и дело что нет. Хотя зависит от того, что такое "непрерывная линия", но твое множество не линейно связно.

lenmas

Хотя зависит от того, что такое "непрерывная линия", но твое множество не линейно связно.
В моем случае обычная непрерывная кривая. Что ты тогда понимаешь под линейно связным множеством?

blackout

В твоем примере точка (0,0) не может быть соединена непрерывной кривой ни с одной другой точкой этого множества. Непрерывная кривая это образ непрерывного отображения из [0,1].

lena1978

какая сложная у тебя фантазия. если я себе все правильно представил, то твой пример можно упростить - взять обычную плоскость.

lenmas

В твоем примере точка (0,0) не может быть соединена непрерывной кривой ни с одной другой точкой этого множества. Непрерывная кривая это образ непрерывного отображения из [0,1].
Как не может? Она сама (кривая) и соединяет (0,0) с любой другой точкой кривой. Я тоже понимаю под непрерывной кривой непрерывное отображение отрезка.

lena1978

чота я туплю, этот график точно бесконечно длинный?

lenmas

чота я туплю, этот график точно бесконечно длинный?
Ну да, в нуле у него бесконечная длина. Интеграл от модуля производной расходится в нуле.

lena1978

ну да, непрерывная, но не абсолютно непрерывная функция. график будет линейно связным множеством, но бесконечно длинным.

blackout

Как не может? Она сама (кривая) и соединяет (0,0) с любой другой точкой кривой. Я тоже понимаю под непрерывной кривой непрерывное отображение отрезка.
Вот так. Попробуй написать непрерывное отображение из [0,1] во что-то бесконечной длины.

lena1978

так он же написал :)

blackout

чота я туплю, этот график точно бесконечно длинный?
При подходе к 0 он имеет бесконечное число периодов, длина каждого из них минимум 2.

blackout

Нет, не написал.

lena1978

не, так там же на икс домножено. ты наверно без домножения считаешь и глючишь поэтому.

blackout

Да, ты прав. Но тогда действительно не понятно почему

Так ее две точки нельзя соединить кривой, лежащей на графике и имеющей конечную длину.

lena1978

периоды уменьшаются, но не так быстро, как хотелось бы. поэтому длина все-таки бесконечная. но функция непрерывна.
такая же хрень как отображение канторового множества _на_ отрезок. длина скачком увеличивается с нуля до единицы. а тут с единицы до бесконечности. функция не абсолютно неперерывна.

blackout

Согласен.

Ruffneck

Спасибо за совет, почитаю

Ruffneck

Да все верно, как раз для таких примеров необходимость отсутствия точек самокасания или самоприкосновения и нужна. На для моего мнодества я показала, что точек самокасания нет

Ruffneck

Плость взамен внутренней капли? Да, тоже подходит)

Ruffneck

Если вместо R^3 взять шар, в котором лежит целиком мое множесво... Я тут подумала, факт линейной связности именно для R^3 без множества можно заменить на шар без моего множества

stm7555439

Сорри, не авторизовалась, 4 последних сообщения от меня

iri3955

> как раз для таких примеров необходимость отсутствия точек самокасания или самоприкосновения и нужна
Так что это такое? Если как здесь, то мой пример не имеет таких точек

stm7555439

Хм... значит я твой приемр не понимаю :(
Доказать факт, который мне необходим для множества, у которого есть точки самокасания, точно не получится...
Пример: Шар, внутри которого сфера, которая касается границы шара...

iri3955

Ну, представляешькаплю? 3хмерную.
Возьмём 2 капли без границы с общей вершиной, оси которых расположены под прямым углом друг к другу.
Вот. Это как раз несвязное дополнение до нашего множества. Тогда, насколько я понимаю, само множество не содержит таких точек.
Но я всё еще до конца не понимаю определения.

stm7555439

У меня доказано, что таких точек нет у моего множества. И твой и мой пример об одном и том же фактически. Вот этого касания границы (общей вершины капель в твоем случаем) у меня нет.. Как такое свойство касания вообще называется у множества? Терминология есть?
Вопрос как показать тогда что шар без множества такого есть линейно связное множество.

stm7555439

Общая вершина - это и есть как бы самокасание или самопересечнение границы... Может, я не владею нужной терминологией... имеется в виду, что существует взаимная однозначность отображения.

iri3955

> Общая вершина - это и есть как бы самокасание или самопересечнение границы...
Поэтому и уточняю.
> Может, я не владею нужной терминологией... имеется в виду, что существует взаимная однозначность отображения.
Какого отображения? У нас нет отображения, есть множество и его граница.

stm7555439

Да, множество и граница, про отображение - забей, это предыстория сего вопроса...
В общем пока ничего подходящего я в Куратовском не нашла... Сама понять не могу, как такие вещи доказываются.

lenmas

В общем, я перепутал с другим утверждением: если замыкание X связно и замыкание дополнения R^3\X связно, то граница X тоже связна. У тебя немного другое. Хотя из твоего случая тоже следует по этому утверждению, что граница необходимо связна (но ты это и требуешь как необходимое условие).

lenmas

Сама понять не могу, как такие вещи доказываются.
Сама попробуй объясни, что ты понимаешь под несамокасанием границы и что ты доказала конкретно, когда говоришь, что доказала несамокасание границы.
Потому что такое ощущение, что связность дополнения это и есть определение несамокасания (несамопересечения) границы. То-есть ты играешься с тавтологиями, такое мое мнение. Я вот не могу придумать другое определение несамокасания границы.

lena1978

вопрос так пока и не сформулирован. что это за множество, откуда оно берется и что такое самокасание?
топология - это не абстрактная наука =)

stm7555439

Спасибо большое всем за участие в обсуждении!
Очень помог 2 том Куратовского.. Но остается кое-что не совсем понятно: не может ли кто из вас посоветовать книгу по топологии, где более простым языком было бы написано про неприводимые пространства :)

stm7555439

Да есть во втором томе!
Не подскажешь ли литературу попроще про неприводимые пространства...

lenmas

Да есть во втором томе!
Не подскажешь ли литературу попроще про неприводимые пространства...
Ой, не знаю :o Я с Куратовским только однажды сталкивался в связи с другой задачей на связности, которую я цитировал выше.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: