задачка по функану

Tahomi

Х - банахово пр-во
f: X->R - линейный функционал
U - откр. непустое множество в Х
(f, U) -ограничение f на U. (f, U)>=c для всех х из U, с=const
доказать, что f непр. на Х

lenmas

да и анонимам сейчас зачеты уже не ставят
Лучше бы написал решение по-быстрому. Не могу же я один тут заниматься альтруизмом, помогай уже! :mad: :)

griz_a

Рассмотрим в U какую-то точку b. Она входит туда с окрестностью радиуса R.
Пусть функционал не непрерывен. Значит он не непрерывен в нуле. Значит найдется последовательность таких [math]$\|a_n\| \leq R$[/math], а [math]$f(a_n)\rightarrow-\infty$[/math]. Действительно, в силу отсутствия непрерывности [math] $\exists C $[/math] и последовательность [math]$\|b_n\| \rightarrow 0$[/math], [math]$|f(b_n)|\geq C$[/math] Тогда [math]$ |f(\frac{R b_n}{\|b_n\|})|\rightarrow\infty $[/math]. Выбирая у [math]$ b_n$[/math] подходящий знак, имеем требуемое.
Но тогда [math]$ f(b+a_n)=f(b)+f(a_n)\rightarrow -\infty $[/math]. Это не согласуется с тем, что [math] $b+a_n\in U \ \forall n$ [/math]
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: