слупы

gavgav

Является ли интеграл \int\limits_{t_0}^t x(t) dt от стационарного случайного процесса
стационарным случайным процессом?

sirp

У тебя верхний предел интегрирования случайно совпал с переменной по которой интегрирование ведется? Наверное надо написать x(s)ds.
Вообще ощущение такое, что для сепарабельного стационарного сл. пр. x_t это верно.

gavgav

а что такое сепарабельный сл.п.?
в двух чертах пояснение, почему стационарен интеграл, если не трудно...

sirp

Похоже, я все-таки что-то перепутал. В общем, вот что я имел ввиду. Y(t) - твой интеграл.
Если X(t) - сепарабельный сл. пр. и для любых t_1,...,t_n, s совместное распределение случайных величин X(t_1...X(t_n) совпадает с распределением X(t_1+s...,X(t_n+sто распределение случайной величины Y(s+t)-Y(s) не зависит от s. Свойства не совсем одинаковые, но к интегралу первое свойство никак не применимо, т.к. Y(t_0)=0 с вероятностью 1.
Мое утверждение скорее всего верно, т.к. Y(s+t)-Y(s)=\int\limits_s^{s+t}x(m)dm зависит от совместного распределения X(m) в отрезке [s;s+t], а оно не зависит от s.
Определение сепарабельного процесса: существует счетное множество S\in R такое, что для любого t и почти любого элементарного события
X(t)=\bigcap\limits_{(a;b): t\in (a;b)}\overline{X(a;b\cap S)} (overline - замыкание). Смысл определения в том, что можно определить значение процесса в любой точке по его значениям в заранее заданном счетном множестве. Сепарабельность скорее всего потребуется для строгого доказательства, т.к. иначе работать с континуумом случайных величин крайне сложно (а возможно, она вообще необходима для интегриуемости).

Katty-e

Если Е(X_t) !=0, то не является, вообще говоря. ( Кстати, интеграл существует, только если ковариационная функция непрерывна. )
Пример : ( Вентцель, зад. 4.1.1). Пусть X_t - стационарный непрерывный в среднем квадратичном процесс, Е(X_t) !=0. Тогда не существует такой сл. вел. С, что C+int_0^{t}X_s ds - стационарный процесс.
Д-во : производная стационарного процесса имеет нулевое мат. ожидание.

gavgav

В том-то и проблема, что интеграл не от s до s+t, а от t_0 до t. Все равно спасибо.

gavgav

Да вот и я так думаю, что мат. ожидание д.б. нулевое.
Тогда вопрос : для любого стац. процесса с мат.ожиданием 0 его неопр. интеграл - стационарный процесс?

sirp

Нет. Пример: пусть X - сл.в., равная 1 и -1 с вероятностью 1/2. Процесс X(t) положим равным X (т.е. он не зависит от t и все время равен своему значению в начальной точке). Тогда X(t) стационарен и EX(t)=0, то распределение Y(t) (Y(t) равен t-t_0 и t_0-t с вероятностями 1/2) зависит от t.
И вообще, как я уже говорил, Y(t_0)=0 с вероятностью 1, в то время как Y(t вообще говоря, не константа. Так что Y(t) не может быть стационарным процессом.

nasteniw

если ты говоришь о стационарном в широком смысле процессе, то стохастический интеграл от него будет стационарным (в широком смысле)
для стационарного в узком смысле процесса я так сходу не скажу, но подумаю...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: