Можно ли доказать бесконечное число утверждений?

asseevdm

Вопрос по философии и даже не у меня. Сам я с мехмата и полагаю, что можно.
Например, можно считать [math]$\forall x\ x\cdot 0 = 0$[/math] аксиомой. Тогда любая теорема вида [math]$a\cdot 0 =0 $[/math], где a — конкретное число, доказывается применением правила вывода, позволяющего вместо переменной под квантером всеобщности брать любой конкретный элемент. В общем, доказательство очевидное.
Теперь берем множество теорем [math]$\{a\cdot 0 =0\ |\ a\in N\}$[/math] и множество доказательств
[math]$\{\forall x\ x\cdot 0 = 0;\ a\cdot 0 =0\ |\ a\in N\}$[/math].
Итого, имеем бесконечное множество доказанных теорем.
Далее, заменяем N на R и получаем континуальное множество доказанных теорем.
С другой стороны есть школьное упражнение: докажите, что число теорем, которые когда либо будут доказаны, не более чем счетное. Доказательство: доказанная теорема — это конечный текст. Таковый не более чем счетно.
Получаем противоречие. Я даже знаю, в каком именно месте. Что скажите?
PS Привет Гонобобелю

Maria-mirabella

ты можешь формализовать понятие теоремы?

strelok69

раз уже здесь флуд, то
сам я с химфака и полагаю хуй на все ваши бесконечные мехматянские ботанско-задротские выкладки :p

asseevdm

На пальцах
Теорема — это формула, в котором в корректном порядке записаны кванторы существования, всеобщности, переменные, константы, функциональные символы, предикаты и логические связки.
Строгое определение муторно, см. Н.К. Верещагин, А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. http://www.mccme.ru/free-books/

Maria-mirabella

Далее, заменяем N на R и получаем континуальное множество доказанных теорем.
похоже, дело в этом месте.
какое правило вывода ты здесь применил?

asseevdm

Это не правило вывода для доказательства теорем.
Это рассуждение о том, как можно построить континуальный набор доказательств.

Maria-mirabella

почему ты считаешь, что этим легким движением руки ты получаешь континуум доказанных теорем?
// мне просто интересно разобраться за чужой счет

Vadim46

даже сформулировать ты сможешь только счетное число теорем, т.к. не любое число можно описать конечным текстом :p

blackout

похоже, дело в этом месте.
Можно было сразу рассматривать R, а не N. Тогда этот вопрос отпадает.

blackout

Теорема — это формула, в котором в корректном порядке записаны кванторы существования, всеобщности, переменные, константы,
Проблема тут. Чтобы записать теорему для каждого числа из R, тебе нужно каждый раз вместо a писать константу. А записать все числа из R нельзя.

asseevdm

множество теорем [math]$\{a\cdot 0 =0\ |\ a\in R\}$[/math] и множество доказательств
[math]$\{\forall x\ x\cdot 0 = 0;\ a\cdot 0 =0\ |\ a\in R\}$[/math].
Итого, имеем континуальное множество доказанных теорем.

Maria-mirabella

а доказательство --- это что такое? текст или процедура?

narkom

это одно утверждение ;)

strelok69

ну вот, бля, сорвал покровы :crazy:
а ведь в треде ещё не дошли до интегралов и матриц

asseevdm

цепочка утверждений, каждое либо аксиома либо следует из предыдущих по правилам вывода.
То есть текст.

asseevdm

Нет, это множество утверждений 1*0=0, 2*0=0 и так далее

Vadim46

ну так вот это "и так далее" записать невозможно

Maria-mirabella

цепочка утверждений, каждое либо аксиома либо следует из предыдущих по правилам вывода.
брр. а как узнать по данному тексту, будет ли он доказательством или нет? эти следствия как-то мгновенно устанавливаются, что ли?

asseevdm

Знаешь, натуральные числа тоже нельзя записать, потому что это 1, 2 и так далее. А вот тебе запись: [math]$N$[/math]

strelok69

Нет, это множество утверждений 1*0=0, 2*0=0 и так далее
это множество утверждений-следствий из одной теоремы

Vadim46

тогда получится одна теорема, как и написали выше: для любого вещественного x x*0 = 0

Maria-mirabella

нет

asseevdm

Правила вывода все известны заранее, их несколько штук. Например, если написано A и написано A => B, можно написать B. Аксиомы тоже заранее известны. Так что каждый переход можно проверить, причем даже компьютер обучить это делать.
Если очень хочется, можно договориться каждый новый результат писать с новой строки. А еще указывать, какие именно уже доказанные формулы берутся и какое правило вывода используется.

strelok69

что значит нет?
неужели неправда, что
для любого вещественного x x*0 = 0
?

asseevdm

Ну да. Я не претендую на то, что хоть какое-то из них интересно с научной точки зрения. Тем не менее, каждое утверждение-следствие — самостоятельная теорема.

Maria-mirabella

так вот эта проверка, про которую ты пишешь, как я понимаю, является неотъемлемой частью доказательства. т.е. это не просто текст, а некоторая процедура, которая должна удовлетворять определенным условиям.

asseevdm

Нет, автоматически оно не получается. Синтаксически это разные вещи абсолютно. Просто ты в своем мозгу понимаешь, что они друг из друга следуют.

asseevdm

Доказательство существует вне зависимости от того, будет его кто-то читать, обдумывать или проверять. Доказательство суть текст.

asseevdm

Не верно, что мы в итоге получили одно утверждение. Мы получили бесконечное множество однотипных утверждений.

Vadim46

Синтаксически это разные вещи абсолютно
вот именно, любое написанное тобой утверждение - это одна теорема, по определению
один и тот же текст не может задавать сразу много теорем

strelok69

просто ты в своём мозгу не различаешь абстрактное (теорема) и конкретное (утверждения-следствия из неё)

asseevdm

Ты абсолютно прав. Это снимает противоречие. Тем не менее логики используют сигнатуры с континуальным числом элементов. Меня это настораживает и я не вижу четкой границы, что делать можно, а что нельзя.

Maria-mirabella

> Доказательство существует вне зависимости от того, будет его кто-то читать, обдумывать или проверять. Доказательство суть текст.
хахаха. тогда делаем вот что:
> С другой стороны есть школьное упражнение: докажите, что число теорем, которые когда либо будут доказаны, не более чем счетное. Доказательство: доказанная теорема — это конечный текст. Таковый не более чем счетно.
строим такое утверждение (1): "число теорем, которые когда либо будут доказаны, равно континууму", доказательство этого утверждения: "рассмотрим континуум текстов, считая их доказательствами".
если играть по твоим правилам, то существует доказательство утверждения (1).

Vadim46

Тем не менее логики используют сигнатуры с континуальным числом элементов
логики сигнатуры вообще не используют, а имеют дело с теориями, правилами вывода и т.д. Есть такая теорема, которая формулируется примерно так: у любой (хорошей) теории есть счетная модель.

asseevdm

Да, тут тоже собака порылась. Но мне кажется, что я делаю честно. Я же могу работать с бесконечными множествами, в том числе и определять их. Например, множество натуральных чисел. Или множества чисел вида 5k+3n где k и n натуральные. Значит, я могу определить множество текстов вида
n*0=0, где n натуральное.

Vadim46

для натуральных n можешь
для всех действительных - нет

blackout

Не хочу показаться слишком говнистым, но почему никто не ответил на мой ответ?
Теорема — это формула, в котором в корректном порядке записаны кванторы существования, всеобщности, переменные, константы,
Проблема тут. Чтобы записать теорему для каждого числа из R, тебе нужно каждый раз вместо a писать константу. А записать все числа из R нельзя.

asseevdm

Произвольный континуум текстов не будет множеством доказательств. Потому что там будут элементы, которые не пройдут проверку. Дело в том, что свойство присуще объекту объективно, вне зависимости от того, проверил ли кто-то это свойство или нет. Но назначать свойство у тебя права нет.
Например, если мы рассмотрим множество всех белых кошек, то там все кошки белые. Вне зависимости от того, что кто-то пошел и посмотрел на их цвет.

asseevdm

На самом деле тоже могу. Достаточно включить в теорию набор констант, каждая из которых соответствует своему действительному числу. Тогда я могу написать набор теорем:
c*0=0 для всех констант. Такой трюк — добавлять в теорию константы, соответствующие действительным числам, — я не придумал, а в книжке прочитал. Так что он честный.

Vadim46

ну если разрешается несчетный алфавит, то и утверждение о счетности числа всех теорем становится неверным ;)

asseevdm

Извини, мне казалось, что я ответил. Да, это то самое место, в котором возникает парадокс.
На самом деле логики позволяют себе рассматривать теории, в которых для каждого числа (действительного) введена константа, его обозначающая. Таких констант, очевидно, континуум, но логики не парятся и запросто для констант тоже что-нить выписывают для этих.
Так что смогу, хоть и придется помучиться.

asseevdm

выходит, что так и надо.
а говнозадачка о том, что теорем не более, чем счетно — это говнозадачка.

blackout

Таких констант, очевидно, континуум
Ну а на это уже ответили в предыдущем сообщении :)

luherstag

Никогда не слышал, чтобы добавлялось несчётное множество констант. Потому что при этом практически все стандартные результаты идут прахом. Либо ты это прочитал в какой-то реально продвинутой книже, и при этом не прочитал всех оговорок, которые при этом делают, либо просто всё перепутал. Скорее второе.

stm7543347

Далее, заменяем N на R и получаем континуальное множество доказанных теорем.
С другой стороны есть школьное упражнение: докажите, что число теорем, которые когда либо будут доказаны, не более чем счетное. Доказательство: доказанная теорема — это конечный текст. Таковый не более чем счетно.
Предлагаю из осторожности считать, что умножение на ноль дает ноль только для натуральных чисел.

svetik5623190

PS Привет Гонобобелю
И тебе привет! Сорри, в обсуждении не приму участия - нет времени :(
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: