Как решить параболическое ур-е ?

Gaoth_Rinc

[math]  $$\frac{\partial P}{\partial t}=a\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}+(bx+ct+d)\cdot P  $$  $$ P(0,x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(i\lambda x) $$[/math]
где a,b,c,d, lambda - константы.

Lene81

Задача — УШ с сепарабельным потенциалом. Решается методом разделения переменных.

Gaoth_Rinc

А где мне посмотреть метод решения, я так не понимаю.
Или можешь пример привести, пож-та. Или книжку указать.

seregaohota

Попробуй поискать уравнение теплопроводности, Шредингера, разделение переменных, Википедия и тд в разных комбинациях (по-русски, по-английски).

toxin

В начале нужно решить уравнение [math]$a\frac{\partial^2P}{\partial x^2}+bxP=\lambda P$[/math]. Пусть [math]$P(x,\lambda)$[/math] - решение. Тогда [math]$Const\cdot P(x,\lambda)e^{\frac{ct^2}{2}+(\lambda+d)t}$[/math] - решение исходного уравнения. Остается представить начальные данные в виде [math]$\int_{-\infty}^{+\infty}p(\lambda)P(x,\lambda)d\lambda$[/math] и ответом будет [math]$\int_{-\infty}^{+\infty}p(\lambda)P(x,\lambda)e^{\frac{ct^2}{2}+(\lambda+d)t}d\lambda$[/math].

demiurg

В начале нужно решить уравнение [math]$a\frac{\partial^2P}{\partial x^2}+bxP=\lambda P$[/math]
А оно решается заменой переменных.
Можно смотреть про УШ, можно про Фоккера-Планка.
если не ошибаюсь [math]$w=e^xP$[/math] или что-то такое.

Hana7725

По-моему, оно сведется к уравнению теплопроводности заменой функции [math]$P(x,t)=Q(x,t)\exp(\alpha x +\beta t+\gamma x t +\delta t^2+\epsilon t^3)$[/math] для подходящих значений параметров. Решение для Q выписывается в виде интеграла, как написал , а затем P получается умножением на экспоненту.
ЗЫ Начальную функцию для Q тоже надо пересчитать.

toxin

Вы сами-то попробуйте подставить. Откуда при дифференцировании экспоненты вылезет множитель [math]$x$[/math], чтобы сократить [math]$bxP$[/math]? Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами вообще-то в общем случае не решаются.

lenmas

Там спецфункция получится, типа функции Эйри. Так что не все так просто получается :(

vovatroff

ИМХО, подсказкой служит данное в задаче начальное условие.
Его разложение по функциям Эйри будет элементарной
функцией - это будет преобразование Фурье функции Эйри -
что-то вроде exp(iy^3) или типа того).
Вообще, в уравнении целесообразно с самого начала сделать
фурье-преобразование по переменной x, тогда для фурье-образа
получится уравнение первого порядка по y и по t. Далее взять
фурье-образ начального условия - это будет дельта-функция. Задача
сводится к построению фундаментального решения оператора первого
порядка с разделяющимися переменными. Найдя его, возвращаемся
к переменной x через обратное преобразование Фурье, и ответ пишем
в интегральной форме. Я бы так делал.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: