оптимальная стратегия в ставках

lana

"You have £100 pounds. Max 100 coin tosses. Heads you double your bet, tails you lose it. What's the optimal strategy?”
скажите как решать вот такие задачи? К какому разделу теории вероятности/ случаыних процессов это относится?

Niklz

Я правильно понимаю, что под "оптимальная стратегия" ты понимаешь максимизирующая матожидание выигрыша после последнего броска? И правильно ли что если на шаге t у тебя баланс X_t и ты ставишь b_t, то на шаге t+1 у тебя (X_t + b_t) или (X_t - b_t) с равными вероятностями? Тогда вроде матожидание выигрыша на одном шаге не зависит от твоей ставки и просто X_t : ) А значит и для всей игры матожидание от твоих ставок не зависит. Так что ставь сколько хочешь - не прогадаешь!
Конечно, если ты хочешь не только максимизировать матожидание выигрыша, но и минимизировать дисперсию выигрыша - будет иначе, но это уже другой вопрос.

lana

я нашла Kelly criterion и мартингейл
нифига не понимаю, когда какие стратегии применять %) чем ставки в картах отличаются от ставок на лошадей, спортивных, в рулетке и тп

Niklz

да, особенно хорошо название парадокса показывающего , что применение критерия Kelly может вести к разорению: http://en.wikipedia.org/wiki/Proebsting's_paradox

lana

И правильно ли что если на шаге t у тебя баланс X_t и ты ставишь b_t, то на шаге t+1 у тебя (X_t + b_t) или (X_t - b_t) с равными вероятностями?

Нет, не так, в случае выигрыша на шаге (t+1) я получаю (X_t + 2* b_t т.е на шаге (t+1) у меня (X_t + 2*b_t) или (X_t - b_t) с равными вероятностями.

Vano

у меня (X_t + 2*b_t) или (X_t - b_t) с равными вероятностями
На практике таких игр на деньги не бывает (говорю точно, как человек месяц назад посетивший Вегас :grin: )
Фраза "Heads you double your bet" означает (X_t - b_t + 2*b_t т.е. сначала надо всё-таки поставить ставку, а уж потом может быть...
Тем не менее, есть ощущение, что неправ ни насчёт нулевого мат. ожидания, ни насчёт "ставь сколько хочешь - не прогадаешь". Его рассуждение не использует ограничение на количество раундов игры. Если оно верное, то может быть как-то обобщено и на бесконечную серию. Будем ставить по одному фунту (отсутствие бесконечно делимых ставок). Что-то мне подсказывает, что при потенциально бесконечной серии и ограниченном капитале игрока он в такой игре разоряется п.н. (т.е. с вероятностью 1).
Мартингальные стратегии здесь не будут работать по причине ограниченного капитала (ну и числа ходов). Критерий Келли тоже как бы намекает "не играй в эту игру!"..
Короче, если бы мне нужно было решить эту задачу, то я бы для начала посмотрел "Задачу о разорении игрока" в книге Ширяева.

Niklz

Ну тогда рассмотри процесс с последнего шага.
Если тебя заботит только матожидание, то очевидно, что на последнем шаге нужно ставить все b_{T-1} = X_{T-1} и матожидание выигрыша будет 3/2 X_{T-1}.
На предпоследнем шаге та же ситуация: исходы X_{T-2} + 2 b_{T-2} и X_{T-2} - b_{T-2}, матожидание последнего шага в этих двух случаях будет 3/2 (X_{T-2} + 2 b_{T-2}) и 3/2 (X_{T-2} - b_{T-2} оптимально ставить всё b_{T-2} = X_{T-2} и матожидание предпоследнего шага (3/2)^2 X_{T-2}.
По индукции, оптимально ставить всё с самого начала и матожидание будет (3/2)^100 X_0. Выглядит несколько неправдоподобно, но логично если тебя не заботит дисперсия выигрыша.

Niklz

>> Тем не менее, есть ощущение
Ну, в твоей постановке матожидание выигрыша на одном шаге равно 0 и от твоей ставки не зависит, с этим ты согласен? :) На следующем шаге очевидно тоже, и т.д.
Так что если ты только стремишься максимизировать матожидание, то от твоих ставок ничего не зависит. Что тебя смущает?

Vano

Да, наверное с матожиданием ты прав, а я совсем забыл математику. Этот случайный процесс - мартингал же.
Тогда, видимо, задачу нужно понимать, как задачу о _максимизации_ дисперсии X_T при заданной вероятности разорения.
И она из области Теории Риска тогда.

lana

но и минимизировать дисперсию выигрыша - будет иначе, но это уже другой вопрос.

а как в этом случае кстати считать?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: