Обобщенная функция

Jetmaxus

Помогите пожалуйста :o
[math]$$ \frac{e^{ixt}}{x-i0} \to 2\pi i\delta(x\quad \mbox{ïðè}\quad t\to\infty $$[/math]
(нужно использовать формулу Сохоцкого)

mtk79

использовал. получил.

lenmas

(нужно использовать формулу Сохоцкого)
Что такое формула Сохоцкого?
Тут по-моему проще безо всяких формул комплексного анализа. Типа для любой основной функции φ(x)
[math]  $$  \int\limits_{\mathbb R}\frac{e^{ixt}}{x-iy}\varphi(x)\,dx=\int\limits_{\mathbb R}e^{ixt}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x-iy}\,dx+\varphi(0)\int\limits_{\mathbb R}\frac{e^{ixt}}{x-iy}\,dx  $$  [/math]
для любого y>0. При y->0+ первый интеграл имеет вполне обычный предел по обычным предельным теоремам
для интеграла Лебега, равный
[math]  $$  \int\limits_{\mathbb R}e^{ixt}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}\,dx.  $$  [/math]
По лемме Лебега этот интеграл сходится к нулю при t->∞.
Ну, а интеграл
[math]  $$  \varphi(0)\int\limits_{\mathbb R}\frac{e^{ixt}}{x-iy}\,dx  $$  [/math]
при каждом y>0 и t>0 равен 2πiφ(0)exp(-yt) согласно стандартным интегралам Лапласа
(см. Демидовича, задачи 3825 и 3826). Ясно, что при y->0+ он равен как раз 2πiφ(0 что и требовалось доказать.

Jetmaxus

Спасибо большое.
А что такое формула Сохоцкого, можно посмотреть тут
http://dy.ru/topic20060.html
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: